空间直线

大 同 四 中 教 案 年 月 日

§4.3.1 空间直线坐标系

知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景

（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示

建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示

通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数列结合的思想

空间直角坐标系中点的坐标表示

空间直角坐标系中点的坐标表示

讨论法、讲练结合法

投影仪

大 同同 四 中 教 案

一、课前准备

（预习教材P142~ P144，找出疑惑之处）

1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？

2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？

二、新课导学 ※ 学习探究

1.怎么样建立空间直角坐标系？

2.什么是右手表示法？

3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？

思考：坐标原点O的坐标是什么？

讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程

※ 典型例题

例1在长方体OBCD?D?A?B?C?中，OA?3,OC?4 OD??2.写出D?,C,A?,B?四点坐标.

空间直线

1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面. 2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

3．异面直线所成的角

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．

4．异面直线的距离

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． [要点内容]

1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。

2．空间两直线的位置关系分类

从有无公共点的角度看，可分为两类：

（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；

3．异面直线概念的理解 “不同在

空间点、直线、平面的位置关系

（1）平面

① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；

② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

③ 点与平面的关系：点A在平面 内，记作A ；点A不在平面 内，记作A 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l； 点A在直线l外，记作A l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l α；直线l不在平面α内，记作l α。

（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：A l,B l,A ,B l

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一

平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：P A B

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

一、选择题

1. 异面直线是指（ ）

A.空间无公共点的两条直线 B.分别位于不同平面内的两条直线

C.某一平面内的一条直线与这平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线

2. 若∠AOB=∠A1O1B1且OA//O1A1,射线OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )

A. OB//O1B1且方向相同 C. OB与O1B1不平行

B. OB//O1B1

D.OB与O1B1不一定平行

3. 已知异面直线a与b满足a ,b ，且 l，则直线l与a，b的位置关系一定是( )

A.l与a，b都相交 C.l至多与a，b中一条相交 4. “a，b”是异面直线，是指( ) A. a 平面α，b 平面β，且 B. a 平面α，b 平面β，且 C. a 平面α，b 平面α D. a b 且a与b不平行

5. 空间四边形（四条边不在同一平面的四边形）中异面直线的对数是( ) A.5 C.3

B.2 D.4

B.l至少与a，b中的一条相交 D. l至少与a，b中的一条平行

6. 若a//b,b c A，则a，c的位置关系为

A.异

空间两条直线的位置关系

空间直线的位置关系

空间两条直线的位置关系

一、空间两直线的位置关系观察正方体的图形，并指出直线AB、BB’、 CD’与直线C’D’的位置关系如何？ 1、相交——有且只有一个公共点； A' 如：CD’与C’D’是相交关系。2、平行——在同一平面内，没有公共点； 如：AB与C’D’是平行关系。A B

D'B' D

C'

C

3、异面——(既不相交又不平行)不在任何一 平面内，没有公共点； 如：BB’与C’D’是异面直线。

空间两条直线的位置关系

二、平行直线：【公理4】平行于同一直线的两条直线平行。 表示为a∥b,b∥c =>a∥c。(请举例)(书例 1) 例:已知四边形ABCD是空间四边形，E、 H分别是AB、AD的中点，F、G分别是 CF CG 2 边CB、CD上的点，且 CB CD 3 求证：四边形EFGH是梯形。

空间两条直线的位置关系

初中我们学过，如果一个角的两边分别平行另一个 角的两边，那么这两个角的关系如何？引申：如果在空间的两个角的两边分别平行，且方 向相同那么这两个角的关系又是什么样的呢？ 〖等角定理〗如果一个角的两边和另一个角的两边分别 平行，且方向相同，那么这两个角相等。 〖书中定理〗如果一个角的两边和另

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线

【课时】第26课时

【课题】空间两条直线的位置关系（1）

【主备人】

【目标】1、了解空间中直线与直线的位置关系；

2、理解平行公理4，并会利用平行的传递性证明线线平行；

3、掌握等角定理内容并会应用．

【重点】平行公理及等角定理．

【难点】平行公理及等角定理的应用．

【教学过程】

一、问题情境：

1、平面几何中两直线的位置关系？

2、学生用自己手中的笔作为两条直线摆一摆，并观察，空间两直线的位置关系有哪些？教室内或下面图形中有哪些直线实例？有什么位置关系？

C1

A1

C

二、探索研究与建构数学（学生活动）：

1、学生讨论，归纳：

2、建构数学：

（1）问题：在平面几何中，同一平面内的三条直线a，b，c，如果a

∥b且b∥c，那么a∥c，这个性质在空间是否成立呢？

观察下面的长方体和圆柱：

B1 1 1

A1

B

归纳小结：

公理4： ．

思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？

（2）问题：在平面中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。这一结论在空间成立吗？ 引导学生观察上图中的∠BEF和∠B1A1C1的关系归纳：

定理（等角定理）：

空间直线和平面

［知识串讲］

空间直线和平面： （一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 ?//?????a,??????a?b?//b a a//b? ? b a??,b? ???? ?a//? a??,b?? A b ? a a?b?A a//?,b//? ???????公理4 (a//b,b//c a//c) 线线∥ 线面平行判定 线面平行性质 线面∥ ??//?面面平行判定1 面面平行性质 面面∥ 面面平行性质1 ?//???//????a??? ?????b?a//??a//b?//??a????? ??//? ?a//?

2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：

??a?b?O? ?l?a,l?b?a,b???l?? ?????? a???a?? 面面⊥ 三垂线定理、逆定理 线线⊥ PA??,AO为PO在?内射影a??则a?OA?a?POa?PO?a?AOl??线面垂直判定1 线面垂直定义 线面⊥ ???面面垂直判定 面面垂直性质，推论2 ??a??? ?l?a

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空间角和距离 一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线m与平面?间距离为d，那么到m与?距离都等于2d的点的集合是

（ ）

A．一个平面 B．一条直线 C．两条直线 D．空集 2．异面直线a、b所成的角为?，a、b与平面?都平行，b?平面?，则

直

线

a

与

平

面

?

所

成

的

角

（ ）

A．与?相等

B．与?互余

C．与

?互补 D．与?不能相等．

3．在正方体ABCD—A?B?C?D?中，BC?与截面BB?D?D所成的角为

（ ） A．?

3B．? C．?

46 D．arctan2

4．在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D

是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面

体

S（ ）

B．SD⊥△EFG所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面 －