椭圆中的定值定点常用的结论

椭圆大题——————定值问题

1已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(0,2)，且长轴长与短轴长的比是2:1． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；

x2y22已知椭圆2?2?1?a?b?0?和圆O：x2?y2?b2，过椭圆上一点P引圆O的两条

ab切线，切点分别为A,B．

（Ⅰ）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；

（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得?APB?90，求椭圆离心率e的取值范围； （Ⅱ）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证：

?a2ON2?b2OM2为定值．

x2y223已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点A(2, 1)，离心率为．过点B(3, 0)的直

ab2线l与椭圆C交于不同的两点M,N． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

?????????（Ⅱ）求BM?BN的取值范围；

（Ⅲ）设直线AM和直线AN的斜率分别为kAM和kAN，求证:kAM?kAN为定值．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过

一．解答题（共30小题）

1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4

．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点． ①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；

②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．

2．已知椭圆

的离心率为，且经过点

．

（1）求椭圆C的方程； （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m（定值m≠0），求直线l的斜率．

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

的焦距为2，且过点

．

（1）求椭圆E的方程；

（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．

（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；

（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

4．已知F1，F2分别是椭圆足

（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣

与x轴的交点为N，满

，设A、B是上半

定点、定值、探索性问题 考点一 定点问题 x2y2[典例] (2014·扬州期末)如图，已知椭圆E1的方程为2＋2＝1(a>b>0)，圆E2的方程为

abx2＋y2＝a2，斜率为k1的直线l1过椭圆E1的左顶点A，且直线l1与椭圆E1和圆E2分别相交于点B，C.

(1)若k1＝1，B恰好为线段AC的中点，试求椭圆E1的离心率e；

1

(2)若椭圆E1的离心率e＝，F2为椭圆的右焦点，当BA＋BF2＝2a时，求k1的值；

2k1b2

(3)设D为圆E2上不同于点A的一点，直线AD的斜率为k2，当＝2时，试问直线BD

k2a是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

[解] (1)当k1＝1时，点C在y轴上，且C(0，a)， aa－，?. 则B??22?由点B在椭圆上得

?－a?2?a?2

?2??2?

a2＋b2＝1，

b212c2b226所以2＝，e＝2＝1－2＝，所以e＝.

a3aa33

(2)设椭圆的左焦点为F1，由椭圆定义知BF1＋BF2＝2a，所以BF1＝BA，则点B在线段AF1的中垂线上，

a＋c所以xB＝－.

2

c113又e＝＝，所以c＝a，b＝a，

a222

3a721所以xB＝－，代入椭圆方程得yB＝±b＝±a，

448yB2

第四讲 圆锥曲线中的定点与定值问题 1.如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD与C、D两点，设AD、BC的y交点为R. D(1)求动点R的轨迹E的方程； H(2)过曲线E的右焦点作直线l 交曲线E于M、N两点，交yC轴与点P，记PM??1MF,PN??2NF.求证：λ1+ λ2是定值. (设点法)

2. 已知A、B分别是直线y?P是AB的中点．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若

RAOBx33x和y?? x上的两个动点，线段AB的长为23，33RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．(设直线方程法)

1

x2y2??1的左、右顶点为A、B，3. 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95右焦点为F.设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0.

（1）设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?13，求点T的坐标； （3）设t

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椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

2 1. 15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在椭圆2 2 1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy

弦P1P2的直线方程是02 02 1.

ab

x2y2

7. 椭圆2 2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

ab

F1PF2 ，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 b2tan.

2

x2y2

8. 椭圆2 2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则

..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

；圆

的左右焦点分别为

两点.

，

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得【答案】（1）

（2）

为定值；并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得

。设x轴上的定点为，可得

，由定值可得需满足

，解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为由设

，

消去y整理得

，

，

，

..

要使其为定值，需满足解得

.

.

，

故定点的坐标为

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

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椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x0xy0yx2y2

2 1. 15. 若P在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000

a2ba2b2

x2y2

6. 若P0(x0,y0)在椭圆2 2 1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点

abxxyy

弦P1P2的直线方程是02 02 1.

ab

x2y2

7. 椭圆2 2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点

ab

F1PF2 ，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2 b2tan.

2

x2y2

8. 椭圆2 2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab

|MF1| a ex0,|MF2| a ex0(F1( c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则

..

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆离心率为

；圆

的左右焦点分别为

两点.

，

过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得【答案】（1）

（2）

为定值；并求出该定点的坐标.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得

。设x轴上的定点为，可得

，由定值可得需满足

，解得可得定点坐标。

解得。

.

∴椭圆的标准方程为（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为由设

，

消去y整理得

，

，

，

..

要使其为定值，需满足解得

.

.

，

故定点的坐标为

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k的直线l经过点??1,0?与抛物

解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+

椭圆与双曲线的对偶性质总结

解圆锥曲线问题常用以下方法：

1、定义法

（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1 r2=ed2。

（2）双曲线有两种定义。第一定义中，r1?r2?2a，当r1>r2时，注意r2的最小值为c-a：第二定义中，r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2

第二十三讲 平面几何的定值与最值问题

【趣题引路】

传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.??每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,?而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.

这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,?然后再到集市的路程最短呢?

(1) (2)

解析 在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.

证明 如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′. 连结BP?′与切线MN?交于R,AR+BR>AP+BP. ∵RP′+AP′>AR.

∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.

不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.?“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.

【知识延伸】

平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间