圆锥曲线蝴蝶定理证明斜率关系
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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学 200071)
2003年北京高考数学卷第18(III )题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则有MQ MP =. 证明:如图1,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A (0,t ),B (0,-t ),知t ,-t 是02=++F Ey Cy 的两个根,所以0=E .
若CD ,EF 有一条斜率不存在,则P ,Q 与A ,B 重合,结论成立.
若CD ,EF 斜率都存在,设C (x 1,k 1x 1), D (x 2,k 1x 2),E (x 3,k 2x 3), F (x 4,k 2x 4),P (
,
p
)
,
Q
(
,
q
)
,
111131132)(:
x k x x x x x k x k y CE +-?--=,1321
31111131132)
()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_3
圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生(上海市市北中学 200071)
2003年北京高考数学卷第18(III )题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1:在圆锥曲线中,过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ,直线CE 与DF 交直线AB 于P ,Q ,则有MQ MP =. 证明:如图1,以M 为原点,AB 所在的直线为y 轴,建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*),设A (0,t ),B (0,-t ),知t ,-t 是02=++F Ey Cy 的两个根,所以0=E .
若CD ,EF 有一条斜率不存在,则P ,Q 与A ,B 重合,结论成立.
若CD ,EF 斜率都存在,设C (x 1,k 1x 1), D (x 2,k 1x 2),E (x 3,k 2x 3), F (x 4,k 2x 4),P (
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直线与圆锥曲线位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线的几种常见题型
(1)直线与圆锥曲线位置关系的判定; (2)求直线与圆锥曲线相交的弦长的方法:
设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)AB?______________________. (3)圆锥曲线的弦中点问题的解法:
(4)解析几何中的最值和定值的方法: 【热身练习】
1、方向向量为a?(?1,?2)且与抛物线y?x2相切的直线的方程是______________。 2、“a=b”是“直线y?x?2与圆(x?a)2?(y?b)2?2相切”的______________条件。
x2y2??1内一点M(1,1)的直线交椭圆于A,B两点,且满足AM?MB,则该直线的方程3、过椭圆
164_________。
4、直线y?x?3与抛物线y2?4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为______________.
5、等轴双曲线C:x2?y2?1的左焦点为F,若点P为左下半支上任意一点(不同于左顶点),则直线PF的斜率的取值范围是________________。
6、已知实数x,y满足3x2+2y2=6x,则x2+y2的最大值是_____________
圆锥曲线中设而不求(维达定理)
x2y2+=1的左、右焦点. 1、设F1、F2分别是椭圆54(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求PF1?PF2的最大值和最小值;
(Ⅱ)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?
若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
2、已知平面上一定点C(4,0)和一定直线l:x?1,P为该平面上一动点,作PQ?l,垂足为Q,且(PC?2PQ)(PC?2PQ)?0.
(1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)设直线l:y?kx?1与(1)中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使
得以线段AB为直径的圆经过点D(0,-2)?若存在,求出k的值,若不存在,说明理由.
???????????? 1
x2?y2?1,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而3、已知椭圆C1的方程为4C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线C2的方程;
(Ⅱ)若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2
的两个交点A和B满足OA?OB?6(其中O为原点),求k的取值范围.
4、已知圆
2012直线与圆锥曲线的关系
2012直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1.(2011·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率,下列说法正确的是( ) A.所有的直线都有倾斜角和斜率
B.所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D.所有的直线都有斜率,但不一定有倾斜角 [答案] B
[解析] 所有的直线都一定有倾斜角,而倾斜角为90°的直线不存在斜率.
2.已知直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的关系如图所示,则( )
A.b>0,d<0,a 11bd [解析] 由图像可知->->0,-<0,->0,从而c0. acac 3.若直线2ax+by+4=0(a、b∈R)始终平分圆x+y+2x-4y+1=0的周长,则ab的取值范围是( ) A.(-∞,1] C.(0,1) [答案] A [解析] 由题意知直线过圆心(-1,-2), ∴-2a-2b+4=0,∴a+b=2, a+b?a+b?-2ab ∴ab≤=,∴ab≤1. 22 4.已知直线l1∶y=x,l2∶ax-y=0,其中a为实数,当这两条直线的夹角在(0,内变动时,a的取值范围是( ) A.( 3,1)∪(1,3) 3 B.(
直线与圆锥曲线的位置关系
8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
x2y2
1.AB为过椭圆2+2=1中心的弦,F(c,0)为它的焦点,则△FAB的最大面积为( )
ab A.b2
B.ab
C.ac
D.bc
1 解析:设A、B两点的坐标为(x1,y1)、(-x1,-y1),则S△FAB=|OF||2y1|=c|y1|≤bc.
2 答案:D
2.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k的值为( ) A.1 B.1或3 C.0 D.1或0
??y=kx+2,
解析:由?2
?y=8x,?
得ky-8y+16=0,若k=0,则y=2,若k≠0,则Δ=0,即64-64k=0解得
2
2
k=1,因此直线y=kx+2与抛物线y=8x有且只有一个公共点,则k=0或k=1. 答案:D
x2y22
3.已知椭圆C的方程为+2=1(m>0),如果直线y=x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是
16m2
椭圆的右焦点F,则m的值为( ) A.2
B.22
2
2C.8
2 D.23
2
解析:根据已知条件c=16-m,则点(16-m,
216-m216-m2
∴+=1可得m=22.
162m2 答案:B
x2y2
16
圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散
第1页共4页圆锥曲线背景下斜率之积为定值探究与发散
引例1:设点B ,A 的坐标为()()0505,,-,
,直线BM ,AM 相交于点M ,且它们的斜率之积为9
4-,求点M 的轨迹方程。(人教A 版选修,12-第40页例3)拓展研究:动点M 与两定点()()00,a B ,,a A -连线斜率之积为()022
>>-b a a
b ,则动点M 的轨迹方程为_____________.
引例2:设ABC ?的两顶点B ,A 的坐标为()()0505,,-,
,且直线BC ,AC 的斜率之积为()0m m ≠,试探究顶点C 的轨迹方程。(人教A 版选修,12-第80页复习参考题第10题)变式探究:对m k k BC AC =?()0≠m 进行了探究,那么(),0≠=m m k k BC
AC (),0≠=+m m k k BC AC ()
0≠=-m m k k BC AC 应用举例:
设点B ,A 的坐标为()()0101,,-,
,直线BM ,AM 相交于点M ,求满足下列条件点M 的轨迹方程。
第2页共4页⑴2=BM AM k k ⑵2=+BM AM k k ⑶2
=-BM AM k k 反馈练习:
1、已知椭圆C :12
22
=+y x ,点521,,,M M M
圆锥曲线的切线方程总结(附证明)
运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2,给出了经过圆x2?y2?r2上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2;当M(x0,y0)在圆外时,过M点引切线有且只有两条,过两切点的弦所在直线方程为x0x?y0y?r2。那么,在圆锥曲线中,又将如何?我们不妨进行几个联想。
联想一:(1)过椭圆x0xa2xa22?yb22?1(a?b?0)上一点M(x0,y0)切线方程为
xa22?y0yb2(2)当M(x0,y0)在椭圆?1;
x0xa2?yb22过M引切线有两条,?1的外部时,
过两切点的弦所在直线方程为:
xa22?y0yb2?1
2xa2证明:(1)?yb22?1的两边对x求导,得?2yy?b2?0,得y?x?x0??bx0ay022,由
点斜式得切线方程为y?y0??xa22bx0ay022(x?x0),即
x0xa2?y0yb2?x0a22?y0b22?1 。
(2)设过椭圆?yb22?1(a?b?0)外一点M(x0,y0)引两条切线,切点分别
xxyy为A(x1,y1)、B(x2,y2)。由(1)可知过A、B两点的切线方程分别为:12?12?1、
abx1x0y1y0x2xy2yM(x,y)。又
圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题
第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何
利用点的坐标处理解析几何问题
有些解析几何的题目,问题的求解不依赖于传统的“设点,联立,消元,韦达定理整体代入”步骤,而是能够计算出交点的坐标,且点的坐标并不复杂,然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识:
1、韦达定理的实质:在处理解析几何的问题时,韦达定理的运用最频繁的,甚至有的学生将其视为“必备结构”,无论此题是否有思路,都先联立方程,韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么?实质是“整体代入”的一种方式,只是因为在解析几何中,一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关,利用“韦达定理”可进行整体代入,可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具,只是在需要进行整体代入时,才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣:
(1)优点:如果能得到点的坐标,那么便可应对更多的问题,且计算更为灵活,不受
x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束
(2)缺点:有些方程的根过于复杂(例如用求根公式解出的根),从而使得点
文科圆锥曲线
高考数学练习题---文科圆锥曲线
一、选择题
x2y21.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点,P为直
ab线x?
3a上一点,?F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为( ) 212??(A) (B) (C) (D)
23??【答案】C
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.
0【解析】∵△F2PF1是底角为30的等腰三角形, ∴?PF2A?600,|PF2|?|F1F2|?2c,∴|AF2|=c,∴2c?33a,∴e=,故选C. 242.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线
y2?16x的准线交于A,B两点,AB?43;则C的实轴长为( )
(A)2 (B) 22 (C)? (D)?
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为:x?4,设等轴双曲线方程为:x?y?a,将x?4代入等轴双曲线方程解得y=?16?a2,∵