不规则图形体积计算公式

各种图形计算公式表 名称 图形 计算公式 尺寸说明

长方形

V=abh S=2(abahbh S=2h(ab =√aabbhh

a、b、h---边长 O---底面对角线交点 V(体积、F(底面积、S(面积、S 侧表面积

三棱体

V=Fh S=(abch2F S=(abch

a、b、c---边长 h=高 F=底面积 O=底面中线交点

棱锥

V=Fh S=nfF S=nf

f---一个组合三角形的面积 n---组合三角形的个数 O---锥底各对角线交点 F---棱锥的底面积 h---棱锥的高

棱台

V=h(FF2√FF2 S=anFF2 S=an

F、F2---两平行底面的面积 h---底面间的距离 a---一个组合梯形的面积 n---组合梯形的个数

圆柱和 空心圆 柱

园柱V=πh S=2πh2π S=2πh 空心直园柱V=πh(=2πh S=2π(h2π( - S=2π(h;

---外半径 ---内半径 ---柱壁厚度 ---平均半径 Si---内外侧面积

各种图形计算公式表

斜截直 圆柱

h---最小高度 h

卧罐体积计算公式

设卧式储罐内部为椭圆柱，椭圆的两半轴为a（宽度方向），b（高度方向），长度为L，内部介质的高度为h，则内部介质体积V1的计算公式与h的关系推导如下：

V1=2L∫(b-h,b)√(b^2-x^2)dx

=(2aL/b)[(x/2)√(b^2-x^2)+(b^2/2)arcsin(x/b)]| (b-h,b) =(2aL/b)[πb^2/4-(b-h)√(2bh-h^2)/2-(b^2/2)arcsin(1-h/b)]

以上计算是假设卧式储罐为平封头时的情况，当卧式储罐带有两个半椭球封头时，内部介质体积计算公式需要修正：

设椭球封头的三个半轴为a（宽度方向），b（高度方向），c（长度方向），内部介质的高度为h，则椭球封头处内部介质体积V2的计算公式与h的关系推导如下：

V2=4∫(b-h,b)∫(0,a√(1-x^2/b^2))c√(1-x^2/b^2-y^2/a^2)dydx =(4c/a)∫(b-h,b)∫(0,a√(1-x^2/b^2))√(a^2-a^2x^2/b^2-y^2)dydx =(4c/a)∫(b-h,b)y√(a^2-a^2x^2/b^2-y^2)/2

+ arcsin(y/√(a^2-a^2x^2/b^2

常用几何图形参数计算表序号 图形名称 图B任 意 三 角 形

式

参数 代号a b

参数值4

名

称A=b*h/2

计算公式

计算值6.000 6.000 53.130° 90.000° 36.870° 60.000° 120.000° 0.176 0.260 0.225 2.598 1.000

面积(A) 5 3 2.4 6 圆心角(α) β n 6 内角(β) R s R 0.26 面积(A) 外接圆(R) 内切圆(r) 面积(A) β=180-α=180*(n-2)/n A=n*s*r/2 R=(s/2)/sin(α/2) r=(s/2)/tan(α/2) A=n*R^2*sin(α/2)*cos(α/2) s=2*R*sin(α/2) 角度(°) A=sqrt((s*(s-a)*(s-b)*(s-c)) ∠A=acos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)) ∠B=acos((a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)) ∠C=acos((b^2+a^2-c^2)/(2*a*b)) α=360/n

c

1

h

ac

A

b

C

h s

2

正 n 边 形

r α

Sl

R

1 边长(s)

r

9 面积(A) A=l*r

圆柱中的转化——不规则图形体积

教学内容：义务教育教科书第十二册27页例7

教学目标：

1.通过探索不规则图形体积的计算方法，掌握把不规则图形转化为规则图形再进行计算的技能，提高运用圆柱体积公式解决实际生活中的图形问题的能力。

2.经历观察、猜想、验证、总结等数学学习活动，逐步掌握探究数学知识的方法。

3.解决问题的过程中，体验转化的数学思想的和变与不变的辩证关系，感受数学思维的逻辑性与条理性，获得成功的喜悦。

教学重点：经历图形转化的过程，体会转化的原理与方法

教学难点：根据实际灵活选择图形转化的方法

教学过程：

一、复习迁移

谈话引入：同学们，在学习圆柱体积的过程中，我们会经常用到转化的方法，大家还记得吗？

1.根据题目给出的条件，写出计算以下圆柱体积式子，想一想，这些问题的解题过程有什么共同点：

①一个圆柱形零件，底面积是6m2，高是3m，它的体积是多少？

②一个圆柱形零件，底面半径是2m，高是3m，它的体积是多少？

③一个圆柱形零件，底面直径是4m，高是3m，它的体积是多少？

④一个圆柱形零件，底面周长是6.28m，高是3m，它的体积是多少？

根据学生汇报，板书：

①已知S、H

②已知R、H

③已知D、H V=S H，

④已知C、H V=S H，

2.请观察以下的图例，说说这

最常用的面积、体积计算公式

用求面积、体积公式

1 平面图形面积

平面图形面积见表1-73。

平面图形面积 表

1-73

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

2 多面体的体积和表面积

多面体的体积和表面积见表1-74。

多面体的体积和表面积 表1-74

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

3 物料堆体积计算

物料堆体积计算见表1-75。

物料堆体积计算 表

1-75

最常用的面积、体积计算公式

4 壳体表面积、侧面积计算

1-3-4-1 圆球形薄壳（图1-1）

图1-1 圆球形薄壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

4-2 椭圆抛物面扁壳（图1-2）

图1-2 椭圆抛物面扁壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

1-3-4-3 椭圆抛物面扁壳系数计算

见图1-2，壳表面积（A）计算公式：

A＝Sx·Sy＝2a×系数Ka×2b×系数Kb

式中 Ka、Kb——椭圆抛物面扁壳系数，可按表1-76查得。

椭圆抛物面扁壳系数表 表1-76

最常用的面积、体积计算公式

查表说明

［例］已知2a＝24.0m，2b＝16.0m，hx

最常用的面积、体积计算公式

用求面积、体积公式

1 平面图形面积

平面图形面积见表1-73。

平面图形面积 表

1-73

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

2 多面体的体积和表面积

多面体的体积和表面积见表1-74。

多面体的体积和表面积 表1-74

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

3 物料堆体积计算

物料堆体积计算见表1-75。

物料堆体积计算 表

1-75

最常用的面积、体积计算公式

4 壳体表面积、侧面积计算

1-3-4-1 圆球形薄壳（图1-1）

图1-1 圆球形薄壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

最常用的面积、体积计算公式

4-2 椭圆抛物面扁壳（图1-2）

图1-2 椭圆抛物面扁壳计算图

最常用的面积、体积计算公式

1-3-4-3 椭圆抛物面扁壳系数计算

见图1-2，壳表面积（A）计算公式：

A＝Sx·Sy＝2a×系数Ka×2b×系数Kb

式中 Ka、Kb——椭圆抛物面扁壳系数，可按表1-76查得。

椭圆抛物面扁壳系数表 表1-76

最常用的面积、体积计算公式

查表说明

［例］已知2a＝24.0m，2b＝16.0m，hx

集装箱规格

集装箱是一种能反复使用的便于快速装卸的标准化货柜。

有20尺，40尺，45尺，50尺，另有高柜，重柜之分，还有液体柜等 外尺寸为20x8x8英尺6英寸，简称20尺货柜；

40x8x8英尺6英寸，简称40尺货柜；

及近年较多使用的40x8x9英尺6英寸，简称40尺高柜。

20尺柜：内容积为5.69x2.13x2.18米,配货毛重一般为17.5吨,体积为24-26立方米.

40尺柜:内容积为11.8x2.13x2.18米,配货毛重一般为22吨,体积为54立方米.

40尺高柜（HQ）:内容积为11.8x2.13x2.72米.配货毛重一般为22吨,体积为68立方米.

45尺高柜(HQ):内容积为:13.58x2.34x2.71米,配货毛重一般为29吨,体积为86立方米.

20尺开顶柜:内容积为5.89x2.32x2.31米,配货毛重20吨,体积31.5立方米.

40尺开顶柜:内容积为12.01x2.33x2.15米,配货毛重30.4吨,体积65立方米.

20尺平底货柜:内容积5.85x2.23x2.15米,配货毛重23吨,体积28立方米.

40尺平底货柜:内容积12.05x2.12x1.96米,配货毛重36吨,体积50立方米. Commitment expi

教师寄语：有梦才会有期望，有期望才会有拼搏，守住自己的梦，勇敢地走下去，你就会比别人提前到达成功的彼岸。 不规则图形面积的计算（一）

一、考点、热点回顾

我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，

一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成

的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。

二、 典型例题

1

例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。

解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。

又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，

所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。

例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF

各种图形计算公式汇总

立方体长方体∧棱柱∨三棱柱

棱锥

棱台

圆柱和空心圆柱∧管∨斜线直圆

直圆锥

圆台

球

球扇形∧球楔∨

球缺

圆环体∧胎

球

带

体

桶

形

椭

a,b,c-半轴球

体

交

叉

圆

柱

体

梯

形

体

土方量的计算的基本方法主要有平均高度法和平均断面两种。

1．平均高度法

土方量计算公式表(四方棱柱体法)

注：1．表中a为方格边长，b、c为计算图形相应的两个边长；

2．h1、h2、h3、h4分为各角点的施工高度;

3. Σh为各计算图形相应的挖方或填方的施工高度总和，用绝对值代入；

4．V为挖方或填方的体积(m3)。

2.平均断面法

当采用平均断面法计算基槽、管沟或路基土方量时，可先测绘出纵断面图，再根据沟槽基底的宽、纵向坡度及放坡宽度，绘出在纵断面图上各转折点处的横断面，算出各横断面面积后便可用平均断面法计算各段的土方量，即：V=(F1+ F2) *L1/2 +(F2+ F3) *L2/2+(F3+ F4) *L3/2+…….

土方工程纵断面

V=(F1+ F2) *L1/2 +(F2+ F3) *L2/2+(F3+ F4) *L3/2+…….

注：F

、F2…….表示横断面面积；

1

L1、L2…….表示断面之间距离。

2007-1-21刘整理

测量不规则物体的体积情境导入 合作探索 自主练习 回顾反思

一、情境导入运动会报名 我们学过长方体和正方体的体积计算方法， 下面这些物体，你能够求出它们的体积吗？

你能提出什么数学问题？

一、情境导入怎样求这些物体的体积呢？ 西红柿、梨、土豆和石块的形状都是不规则的，不能 直接计算出它的体积。 你能想办法求出它们的体积吗？ 可以用转化的方法，把不规则的物体转化为规则的物 体，再求出它们的体积。 动手做个试验来试一试。

一、情境导入测量西红柿体积的实验： 实验活动要求 (1)往水槽里倒水，记下水面的高度。 (2)再把西红柿放入水槽量杯里(水没过西红柿)。 (3)记西红柿没入水后水面的高度。 (4)思考求西红柿体积的方法。

二、合作探索测量西红柿体积的实验：

将西红柿放入水中

水面上 升了。

上升部分水的体积就等于西红柿的体积。

如果将西红柿换成土豆，你会有什么发现？

将土豆放入水中

水面上 升了。

上升部分水的体积就是土豆的体积。

二、合作探究西红柿的体积是多少立方厘米呢？

体积差

高度差

继续

二、合作探究西红柿的体积是多少立方厘米呢？

西红柿的体积等于现在的体积减去原来的体积。 15×10×12-15×10×10 =1800-1500