大学初等数论期末试卷及答案

初等数论考试试卷

一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x为实数，?x?为x的整数部分，则( A ) Ａ．?x??x??x??1； Ｂ．?x??x??x??1； Ｃ．?x??x??x??1； Ｄ．?x??x??x??1． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数a1,a2,Ｂ．整数a1,a2,,an的公因数中最大的称为最大公因数；

,an的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】

Ｃ．整数a与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a与它的绝对值有相同的约数

3．设二元一次不定方程ax?by?c（其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有一整数解

x0,y0,d??a,b?，则此方程的一切解可表为( C )

at,y?daＢ．x?x0?t,y?dbＣ．x?x0?t,y?dbＤ．x?x0?t,y?dＡ．x?x0?bt,t?0,?1,?2,; dby0?t,t?0,?1,?2,;

day0?t,t?0,?1,?2,;

day0?t,t?0,?1,?2,;

d4．下列各组数中不构成勾股数的是( D )

y0?Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不

高等教育出版社《初等数论》答案

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m p mn + pq，则m p mq + np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >n，则n1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 + p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

ww

w.

第 4 节

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，y∈Z，17 2x + 3y，证明：17 9x + 5y。

5. 设a，b，c∈N，c无平方因子，a2 b2c，证明：a b。

32n 1

6. 设n是正整数，求C12n,C2n,L,C2n的最大公约数。

1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a + b)[a, b] = a[b, a + b]。

4. 求正整数a，b，使得a + b = 120，(a, b) = 24，[a,

初等数论试卷(B)

一，选择题（满分15分，每题3分）

1，下列不正确的是（ ）

A 设m∈N?，a,b∈Z,若a?b(modm)

，则b?a(modm)。

B 设m∈N?，a,b,c∈Z,若a?b?c(modm),则a?c?b(modm).

C 设m∈N?，a1,b1,a2,b2∈Z，,若a1?b1(modm)，a2?b2(modm)，a1a2?b1b2(momd)。

D 设m∈N?，a,b∈Z,若a2?b2(modm) ，则a?b(modm)。

2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ） A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ） A

320，B 760，C 1195，D 100。 4，同余方程x2?2?0(mod5)的解为（ ）

A x?0(mod5)，B x?4(mod5)，C x?2(mod5)，D 此方程无解。 5，下列哪一个同余方程组无解（ ）

?x?9(mod25)?x?4(mod A ?9)? ，B ??

??x?7(mod10)??x?1(mo

数论教案

§1整数的整除 带余除法

1 整数的整除

设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,a是b的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a？当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.

如果b除a的商数是整数,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b?a.

例1判断下列各题是否b|a？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质

(1)如果c|b,b|a,那么c|a;

(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.

(3)如果

a1,a2,?,an都是m的倍数,q1,q2,?,qn是任意整数,那么

q1a1?q2a2???qnan是m的倍数.

(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。

例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-

数论教案

§1整数的整除 带余除法

1 整数的整除

设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b|a,也称b是a的因数,a是b的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a？当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.

如果b除a的商数是整数,说明b|a;如果b除a的商不是整数,说明b?a.

例1判断下列各题是否b|a？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质

(1)如果c|b,b|a,那么c|a;

(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.

(3)如果

a1,a2,?,an都是m的倍数,q1,q2,?,qn是任意整数,那么

q1a1?q2a2???qnan是m的倍数.

(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab。

例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-

02013 初等数论

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

第一章 整数的可除性

一、自学要求

（一）掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法。

（二）掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数。

（三）掌握质数的性质和算术基本定理，会用筛选法求不超过给定正整数的质数。

（四）掌握数论函数［x］的概念，会求 N！的标准分解式。

二、考试内容

（一）整除性，带余数除法，辗转相除法。

（二）最大公因数，最小公倍数，质数及其性质，算术基本定理，筛选法。

（三）数论函数［x］，N！的标准分解式。

第二章 不定方程

一、自学要求

（一）掌握二元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握二元一次不定方程的解法。

（二）了解多元一次不定方程有解的充要条件，掌握三元一次不定方程的解法。

（三）了解勾股数，掌握不定方程 x2 + y2 = z2的正整数解的表示方法。

二、考试内容

（一）二元一次不定方程。

（二）多元一次不定方程，三元一次不定方程。

（三）勾股数，不定方程 x2 + y2

初等数论练习题一

一、填空题

1、?(2420)=27； ?(2420)=_880_ 2、设a，n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2.

3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256 。 8、??65?? = -1 。 ?103?9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?

初等数论练习题一

一、填空题

1、d(2420)=12; ?(2420)=_880_ 2、设a,n是大于1的整数，若an-1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t，y=700+18t t?Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为_?(m)_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、??65?? =-1。 ?103?

9、若p是素数，则同余方程x p ? 1 ?1(mod p)的解数为 p-1 。 二、计算题

1、解同余方程：3x2?11x?20 ? 0 (mod 105)。

解：因105 = 3?5?7，

同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 3)的解为x ? 1 (mod 3)， 同余方程3x2?11x?38 ? 0 (mod 5)的解为x ? 0，3 (mod 5)， 同余方程3x2?11x?20 ? 0 (mod 7)的解为x ? 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ?