判别式与韦达定理教案

判别式与韦达定理

根的判别式和韦达定理是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论.

1． 判别式的应用

2

例1 已知实数a、b、c、R、P满足条件PR＞1，Pc+2b+Ra=0.求证：一元二次方程ax+2bx+c=0必有实根.

2

证明 △=（2b）-4ac.①若一元二次方程有实根，

必须证△≥0.由已知条件有2b=-（Pc+Ra），代入①，得

2

△ =（Pc+Ra）-4ac

22

=（Pc）+2PcRa+（Ra）-4ac

2

=（Pc-Ra）+4ac（PR-1）.

∵（Pc-Ra）2≥0，又PR＞1，a≠0， （1）当ac≥0时，有△≥0；

2

（2）当ac＜0时，有△=（2b）-4ac＞0.

2

（1）、（2）证明了△≥0，故方程ax+2bx+c=0必有实数根.

例2 k是实数，O是数轴的原点，A是数轴上的点，它的坐标是正数a.P是数轴上另一点,坐

2

标是x,x＜a，且OP=k·PA·OA.

（1） k为何值时，x有两个解x1，x2（设x1＜x2）；

（2） 若k＞1，把x1，x2，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.

2

解 （1）由已知可得x=k

这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习

韦达定理与根的判别式

知识点：

1、根的判别式b2

4ac

（1）b2

4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根； （2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根； （3）b2 4ac 0，方程没有实数根； 2、韦达定理

已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有

xb1 x2

a

x1x2

ca

例1：已知一元二次方程x2

2x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

（2）设x2

1,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值 练习：

1

、方程x2

3 0的根的情况是（ ）

A有两个不等的有理实根 B有两个相等的有理实根 C有两个不等的无理实根 D有两个相等的无理实根 2、已知x2

1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（ ） A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x32

2

，x1x2 2 D x31 x2

2

，x1x2 2

3

、已知方程x2 2 0，则此方程（ ）

A 无实数根 B

两根之和为 C两根之积为2

D

有一根为2

姐妹情深----判别式与韦达定理

【知识要点】

一、一元二次方程判别式

1．一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 根的判别式 b2 4ac， 利用它可以判断一元二次方程的根的情况，即： ① 0 方程有两个不相等的实数根； ② 0 方程有两个相等的实数根； ③ 0 方程没有实数根．

二、一元二次方程根与系数的关系 （韦达定理）

bc

1．如果 x1,x2是方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根，则x1 x2 .x1x2 .

aa

特别的，当一元二次方程的二次项系数为1时，如 x1,x2是方程x2 bx c 0的两个根时，则

x1 x2 b，x1x2 c.

三、一元二次方程根与系数的关系的应用

1．利用根与系数的关系求有关根的代数表达式的值，如求x1 x2,

2

2

11

,(x1 x2)2,x1 x2及相关x1x2

变形式。

2．已知两根或它们之间的关系构造一元二次方程

以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x x1 x2 x x1x2 0．一般地，如果

b

x x 2 1a

有两个数x1,x2满足 那么x1,x2必定是一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两个实

xx c12 a

数根．（韦达定理的逆定理）

3．一元二次方程判别式与

从教20多年的数学高级教师的精编

根的判别式

【例1】当m取什么值时，关于x的方程x2 2(2m 1)x (2m 2)2 0。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

答案：（1）m

34

；（2）m

34

；（3）m

34

【例2】求证：无论m取何值，方程9x2 (m 7)x m 3 0都有两个不相等的实根。 分析：列出△的代数式，证其恒大于零。解略。

【例3】当m为什么值时，关于x的方程(m2 4)x2 2(m 1)x 1 0有实根。

分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m2 4＝0和m2 4≠0两种情形讨论。

略解：当m2 4＝0即m 2时，2(m 1)≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当m2 4≠0即m 2时，方程有根的条件是：

△＝ 2(m 1) 4(m2 4) 8m 20≥0，解得m≥

2

52

52

∴当m≥ 一、填空题：

52

且m 2时，方程有实根。综上所述：当m≥

习题（一）

时，方程有实根。

1、下列方程①x2 1 0；②x2 x 0；③x2 x 1 0；④x2 x 0中，无实根的方程是 2、已知关于x的方程x2 mx 2 0有两个相等的实数根，那么m的值是

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a

-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开

平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ?=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ?=-确定．

判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ?=-则

①0?>?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0?=?方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a

==-

． ③0?

若?为完全平方式，同时b -2a 的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方

程有两

判别式专题复习

九上数学专题复习

根的判别式、韦达定理复习：

例1、已知关于 x的方程k2x2－2（k＋1）x＋1=0有两个实数根，

（1）求k的取值范围； （2）当k=1时，设方程的两根x1为x2 和，求

练习1：

1、若关于x的一元二次方程(m 2)2x2 (2m 1)x 1 0有两个不相等的实根，则m的取值范围是（ ） x2x1 的值。 x1x2

3333 B、m≤ C、m 且m≠2 D、m≥且m≠2 4444

22、在方程ax bx c 0（a≠0）中，若a与c异号，则方程（ ） A、m

A、有两个不等实根 B、有两个相等实根 C、没有实根 D、无法确定

3、已知关于x的方程2x-(4k+1)x+2k=1有两个不相等实根,则k的取值范围是

4、关于x的方程(k-2)x-(2k-1)x+k=0有两个不相等实根,则k的取值范围是

5、已知方程kx-2kx+k=x-x+3有两个不相等实根,则k的取值范围是__.

6、求证：无论m取何值，方程9x (m 7)x m 3 0都有两个不相等的实根。

3、当m为什么值时，关于x的方程(m 4)x 2(m 1)x 1 0有实根。

22222222

判别式专题复习

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第三讲 韦达定理及其应用

【趣题引路】

韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。

韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？

ab2?b2?12004

已知：①a+2a-1=0,②b-2b-1=0且1-ab≠0,求()的值。

a2

4

2

2

解析 由①知1+2 即(

11-=0, aa2121)-2·-1 =0,③ aa 由②知(

围场卉原初中初三数学导学案N0２2. 编制人：李建利 刘海龙 鲁秀峰 霍志科 孙松峰 审核： 包科组长签字： 时间：2010. 姓名： 层次: 评价区：

一元二次方程的根的判别式练习学案

教学目标：1、了解一元二次方程的根的判别式的产生过程；

2、能运用根的判别式判别方程根的情况，会进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；

4、激情投入,阳光展示。

一、导学部分

1、一般地，式子 2、若 则 ，方程有两个不相等的实数根 若，则方程有两个相等的实数根 若，则方程没有实数根。 二、学习新知

例1：不解方程判别下列方程根的情况

1 2x2 3x 4 0 2 16y2 9 24y 3 5 x2 1 7x 0

4 x2 k2 0

例2：求证关于x的方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0没有实数根

三、巩固提高 （一）、选择题

1. （2009年台湾）若a、b为方程式x2

4(x 1)=1的两根，且a＞b，则a=（ ）

A．－5 B．－

用判别式法法求值域

一、 判别式法

分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

二、例题讲解

1、求函数y 2x

x22 4x 7 2x 3的值域。

由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：xy 2xy 3y 2x 4x 7整理得：(y 2)x 2(y 2)x 3y 7 0当y 2时，上式可以看成关于x的二次方程，该方程的x范围应该满足f(x) x 2x 3 0即x R此时方程有实根即△ 0，△ 2(y 2)] 4(y 2)(3y 7) 0 y [ 222229

2,2]. 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y 2,y

将y 2,y

2、求函数y 9229292）代回方程检验。 ,2)。 分别代入检验得y 2不符合方程，所以y [ x 1x 2x 2的值域。

2解答：先将此函数化成隐函数的形式得：yx (2y 1)x 2y 1 0，(1)

这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方

韦达定理及其应用

一、知识要点

1、若一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 中，两根为x1，x2。则x1 x2

x1 x2

ca

ba

，

，；补充公式x1 x2

a

2、以x1，x2为两根的方程为x2 x1 x2 x x1 x2 0 3、用韦达定理分解因式ax bx c a x

2

2

ba

x

c

a x x1 x x2 a

二、例题

1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差：

2

（1）x 3x 10 0 （2）3x 5x 1 0 （3）2x 43x 22 0

2

2

2、 已知关于x的方程x (5k 1)x k 2 0，是否存在负数k，使方程的两个实

数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。

3、 已知方程x 5x 2 0，作一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程各

根的平方的倒数。

11 1

4、 解方程组 xy12

xy 2

2

22

5、 分解因式：

（1）3x 5x 2 （2）4x 8x 1

2

2

三、练习

1、 在关于x的方程4x2 m 1 x m 7 0中，（1）当两根互为相反数时m的值；

（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值

2、 求出以一