北航抽象代数考试

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《抽象代数》期末考试卷

注意事项：

1、请大家仔细审题

2、千万不能违反考场纪律 题目：

一、 判断题 （每小题2分，共20分）

( ) 1、设 * 是集合X上的二元运算，若a X是可约的，则a是可逆的。 ( ) 2、任何阶大于1的群没有零元。 ( ) 3、任何群都与一个变换群同构。

( ) 4、奇数阶的有限群中必存在偶数个阶为2的元素。 ( ) 5、素数阶群必为循环群。

( ) 6、x 2 + 5 是GF (7) 上的不可约多项式。 ( ) 7、环的理想构成其子环。

( ) 8、有补格中任何元素必有唯一的补元。 ( ) 9、格保序映射必为格同态映射。

( ) 10、设A S，则 < P (A)， > 是格 < P (S)， > 的子格。

二、 填空题（10分）

1、设〈G，*〉为群，a，b G且a的阶为n，则b1 a b的阶为 。 2、设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则a k 的阶为_n/(n,k) _；

并且 a k = e 当且仅当 3、域的特征为___________ ；有限域的阶必为_________。 4、GF（3）上的二次

抽象代数

1 证明任一群中，指数为2的子群一定是正规的。

证明：设G是任一群，H是G的一个指数为2的子群

知H?G，且[G:H]?2

于是H存在2个不同的左（右）陪集

又eH?He?H，故H既是左陪集又是右陪集

由[G:H]?2知?a?G使aH?eH??且Ha?He?? 故G/H?H?aH?H?Ha 故aH?Ha

?x?G且x?e有xH?aH，Hx?Ha，故xH?Hx，当x?e时eH?He?H 综上H?G

TH：群G的子群的2个左陪集要么相等要么没有公共元

2 利用拉格朗日定理（有限群G的阶被它的每个子群的阶整除）证明所有阶为p2的群（p为素数）是交换群。

证明：对任意p阶群G，它的中心Z(G)?e，则Z(G)?1

r2假设G?p为非交换群，则G?Z(G)??i?q?1pni

rp?Z(G)?2?i?q?12pni，故Z(G)能被p整除，从而Z(G)?p或p2

rZ(G)?p时，p?p??i?q?1prni，矛盾

Z(G)?p时，p22?p?2?i?q?1pni知G?Z(G)

故G是交换群

4 与群G的中心化子C(a)?{x?Gxa?ax}一样，考虑在动力系统理论中遇到的反中心

D(a)?x?Gxa?a??1x，一般来说，D(a)不是群

2?证

1

1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 2. 代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？

3. 设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。 4. 求出〈N6，+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：

i R j 当且仅当 | i | = | j| ,

关于加法运算 +，R是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？

2. 设R是N3上的等价关系。若R关于 +3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)； b) x R y当且仅当 | x·y |＜10；

c) x R y当且仅当 (x = 0∧y= 0)∨(x≠0∧y≠0)； d) x R y当且仅当 x ≥ y。

第二章

2. 在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。

a) aR b 当且仅当 a－b是偶数。

1

1. 〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？ 2. 代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？

3. 设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。 4. 求出〈N6，+6〉的所有自同态。

1. 给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：

i R j 当且仅当 | i | = | j| ,

关于加法运算 +，R是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？

2. 设R是N3上的等价关系。若R关于 +3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。

3. 试确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系： a) x R y 当且仅当 (x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)； b) x R y当且仅当 | x·y |＜10；

c) x R y当且仅当 (x = 0∧y= 0)∨(x≠0∧y≠0)； d) x R y当且仅当 x ≥ y。

第二章

2. 在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。

a) aR b 当且仅当 a－b是偶数。

2013-2014二学期图论与抽象代数复习

第一部分

1.第三篇总复习题 1，2，3题 2.第四篇总复习题 1，4，6题 3.习题9 9.1题

4. *运算如下表所示，哪个能使({a,b},*)成为单元半群？（ ）

5. Q 是有理集，（Q，*）（其中*为普通乘法）不能构成（ ）。 A．群 B．单元半群 C．半群 D．交换半群 6.设Z 是整数集，＋，· 分别是普通加法和乘法，则（Z，＋，·）是（ ）。 A．域 B．整环和域 C．整环 D．含零因子环 7. 在代数系统中，整环和域的关系为（ ）。 A．整环一定是域 B．域不一定是整环 C．域一定是整环 D．域一定不是整环 8. 设D =< V,E >为有向图，V = {a, b, c, d, e, f }，E = {( a,b),( b,c),( a, d), ( d, e) ,( f, e)}是（ A．强连通图 B．单向连通图 C．弱连通图 D．不连通图 9. 在有n 个结点的连通图中，其边数（ ）。 A．最多有n?1 条 B．至少有n?1 条 C．最

数学分析、高等代数、解析几何、中学数学建模、离散数学、高等几何、概率统计、竞赛数学、运筹学、数学教学实践、初等代数研究、初等几何研究、教法研究、计算机辅助教学、教育学、教育心理学、大学英语等。

《抽象代数基础》

习题解答

于 延 栋 编

盐城师范学院数学科学学院

二零零九年五月

第一章 群 论

§1 代数运算

“?”1.设A?{e,a,b,c},A上的乘法的乘法表如下:

· e e e a a e c b b c e c c a a b c b c b a e b a “?”证明: 适合结合律.

“?”证明 设x,y,z为A中任意三个元素.为了证明适合结合律,只需证明

(x?y)?z?x?(y?z).

下面分两种情形来阐明上式成立.

I.x,y,z中至少有一个等于e. 当x?e时,(x?y)?z?y?z?x?(y?z); 当y?e时,(x?y)?z?x?z?x?(y?z); 当z?e时,(x?y)?z?x?y?x?(y?z). II.x,y,z都不等于e.

(I)x?y?z.这时,(x?y)?z?e?z?z?x?x?e?x?(y?z). (II)x,y,z两两不等.这时,(x?y)?z?z?z?e?x?x?x?(y?z). (III)x

《抽象代数》试题及答案 本科

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分)

1. 设Q是有理数集，规定f(x)= x+2；g(x)=x2+1,则（fg）(x)等于（ B ）

A. x2?2x?1

B. x2?3 C. x2?4x?5

D. x2?x?3

2. 设f是A到B的单射，g是B到C的单射，则gf是A到C的 （ A ）

A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射

3. 设 S3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 在整数环Z中，可逆元的个数是( B )。

A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个

5. 剩余类环Z10的子环有( B )。

A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G是有限群，a?G, 且a的阶|a|=12, 则G中元素a8的阶为( B ) A． 2

GMAT考试中GMAT逻辑题，令很多考生都头疼不已。除了GMAT逻辑题考查的概念都很抽象这个原因以外，GMAT逻辑题容易拿分的假象，迷惑了不少考生，急于求成的心态，造成很多考生往往功亏一篑。GMAT逻辑题究竟如何搞定?小编将为你介绍一样法宝，列位请上眼。

GMAT没有GRE中的类比反义和填空，免去了背大量生僻单词的负担，但增加了逻辑(critical reasoning)和语法改错(sentence correction).

其实过去的GRE也是有单项的逻辑题，但后来去除了，然后做为一种题型出现在了阅读之中。

360教育集团介绍，逻辑题是很有意思的，每做一道题，就像玩一个game。但真正面对考试，就不那么轻松，因为有时间所限。尤其是难题，运用严格的逻辑思维来做，往往耗时甚多。尤其是五个选项逐一论证更是不切实际。所以对于逻辑题，我们必须要培养一种感觉，依靠这种感觉我们可以很快地将一些无关项排除掉。那这种感觉除了靠大量练习来培养外，更应通过察觉选项中的“无关信息”，迅速做出判断，将之排除。

这就是所谓“无关信息排除法”--- 通过选项中出现了与原文内容和推理无关的内容将之迅速排除。常常能排除五项中的三个，再对剩下的选项认真考虑，做出最后抉择。

具体实践两道

一、 单选题（题数：70，共 70.0 分） 1

中国文化中“气”的最早提出者是（）。 1.0 分 A、 孔子 B、 孟子 C、 老子 D、 庄子 我的答案：C 2

关于非理性的说法,错误的是（）。 0.0 分 A、

非理性的主要特点是不合理念 B、

非理性与理性是对立的 C、

非理性决定抽象艺术

D、

非理性包含情感、直觉、幻觉等精神因素 我的答案：A 3

关于吴冠中的说法，错误的是（）。 0.0 分 A、

吴冠中与赵无极、朱德群是中国当代抽象艺术的代表人物。 B、

在中国，吴冠中第一个提出形式就是内容。 C、

吴冠中一直以抽象画著称。 D、

吴冠中所写的关于抽象艺术的文章曾在中国艺术理论界引起大讨论，并促进了抽象艺术在中国的发展。 我的答案：A 4

杜尚是（）之父。 0.0 分 A、 现代艺术 B、

立体艺术 C、 抽象艺术 D、 当代艺术 我的答案：A 5

中国最早的抽象审美学源于（）。 1.0 分 A、 孔子 B、 孟子 C、 老子 D、 庄子 我的答案：C 6

立体主义的开山之作是（）。 0.0 分 A、

《埃斯塔克的房子》 B、

《格尔尼卡》 C、

《亚威农少女》 D、

《三个女子》 我的答案：B 7

标志着抽象艺术时代来临的画作

北航《线性代数》在线作业三

一、单选题（共 10 道试题，共 70 分。） 1. 实二次型f=x‘AX正定的一个充要条件是 A. det(A)>0

B. 存在可逆矩阵C使得C‘AC为对角阵 C. A可逆

D. 存在可逆矩阵M,使得A=M‘M -----------------选择：D 2.

题面见图片 A. B. C. D.

-----------------选择：D

3. 设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A的行向量组中（） A. 必存在一个行向量为零向量

B. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合 C. 必存在两个行向量，其对应分量成比例

D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合 -----------------选择：B 4.

题面见图片 A. B. C. D.

-----------------选择：D 5.

题面见图片 A. B. C. D.

-----------------选择：C 6.

题面见图片 A. B. C. D.

-----------------选择：D 7. 题面见图片 A.