数列极限和函数极限的求解方法

渤海大学本科毕业论文（设计）

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

学 院（系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 学 号： 学 生 姓 名： 入 学 年 度： 2011年 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2015年4月19日

渤海大学

Bohai University

函数极限求解方法的研究

摘要

函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如: 利用函数极限的

渤海大学本科毕业论文（设计）

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

学 院（系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 学 号： 学 生 姓 名： 入 学 年 度： 2011年 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2015年4月19日

渤海大学

Bohai University

函数极限求解方法的研究

摘要

函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如: 利用函数极限的

求函数极限的方法和技巧

1、运用极限的定义

2、利用极限的四则运算性质

若 limx?xf(x)?A limg(x)?B

0x?x0(I)limx?x?f(x)?g(x)?? lim?xf(x)?limg(x)?A?B

0x0x?x0(II)limx?x?f(x)?g(x)??limf(x)?limx?xg(x)?A?B

0x?x00(III)若 B≠0 则：

limf limf(x)x?x(x)0Ax??

x?0g(x)limx?xg(x)B0IV）limx?xc?f(x)?c?lim?xf(x)?cA （c为常数）

0x0上述性质对于x??,x???,x???时也同样成立 3、约去零因式（此法适用于x?x00时,0型）

例: 求x3?x2?16xxlim?20??2x3?7x2?16x?12

3解:原式=?x?3x2?10x???(2x2?6x?20)xlim??2?x3?5x2?6x?(2x2?10x?12) lim(x?2)(x2?3x?10)(x?2)(x2?5x?6)

x??2=(x2?3x?10)xlim?6)=lim(x?5)(x?2) ??2(x2?5xx??2(x?2)(x?3)=x?5xlim

数列、函数极限和函数连续性

数列极限

定义1（??N语言）：设?an?是个数列，a是一个常数，若???0，?正整数N，使得当n?N时，都有an?a??，则称a是数列?an?当n无限增大时的极限，或称?an?收敛于a，记作liman?a，或an?a?n????.这时，也称?an?的极限

n???存在.

定义2（A?N语言）：若A?0,?正整数N，使得当n?N时，都有an?A,则称

??是数列?an?当n无限增大时的非正常极限，或称?an?发散于??，记作

liman???n???或an????n????，这时，称?an?有非正常极限，对于??,?的定

义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.

1.2 数列极限求法的常用定理

定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若?an?和?bn?为收敛数列，则

?an?bn?,?an?bn?,?an?bn?也都是收敛数列，且有

lim?an?bn??liman?limbn, lima?b?lima?limb.?nn?nnn??n??n??n??n??n??

?an?若再假设bn?0及limbn?0，则??也是收敛数列，且有

摘要

极限论是数学分析的基础，它从方法上表现了高等数学与初等数学的不同。极限研究的是变量在变化过程中的趋势问题。数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限在本质上是相同的，在形式上数列极限是函数极限的特例。本文主要研究数列极限。在求数列极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。

关键词：极限、数列、函数

Abstract

Limit is mathematical analysis, the method of it from the higher mathematics elementary mathematics and different. The study is the ultimate in the process of change in trend of variables. The mathematical analysis discussed the limit can be broadly divided into two kinds: one kind is the limit, is a function of the limit. T

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

数列的极限

年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____

总分 一 二

得分 阅卷人 一、选择题(共40题，题分合计200分)

1.无穷数列??1??4n2?1??各项的和等于 113A.1 B. 2 C. 4 D.2

132.无穷等比数列｛an｝中，a1=2，q=4设Tn=a22+a24+a26+…+a2lim2n，则n??Tn等于 96A.28 B.7 C.2 D.1

3.已知等比数列｛an｝中，a1+a2+a3=9，a4+a5+a6=-3，Sn=a1+a2+a3+…+alimn，则n??Sn等于

2748A.4 B.175 C.6 D.12

limS1n??n?4.在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足

a1,那么a1

的取值范围是

A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)

三

第1页，共23页

5.

n??limnC2nn?1C2n?2等于

11A.0 B.2 C.2 D.4

第３０卷

２０１０正第６期１１月高师理科学刊ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｏｆＴｅａｃｈｅｒｓ’ＣｏｌｌｅｇｅａｎｄＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶ０１．３０Ｎｏ．６ＮＯＶ．２０１０

文章编号：１００７—９８３１（２０１０）０６—００３５—０４

函数上、下极限与数列上、下极限关系的探讨

张金

（宿迁高等师范学校数学系，江苏宿迁２２３８００）

摘要：将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨

与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

关键词：函数；数列；上极限；下极限

中图分类号：０１７１文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１０．０６．０１３

１引言及预备知识

数列的上、下极限对于研究数列的性质有重要作用，本文将数列上、下极限的定义与有关性质推广，给出函数上、下极限的定义与相关性质，探讨与证明了它们之间的关系，并由此解决一些与上、下极限相关的问题．

引理１【Ｊ脚有界数列矗。｝至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点．

定义１ｕ粥３有界数列｛％｝的最大聚点万与最小聚点堡分别称为数列扛。）的上极限与下极限，分别记作为万＝ｌｉｍｘ。，一ａ＝一ｌｉｍＸ。．＾—＋∞ｎ－－＇－￡ｏ

引理２ｕ脚任

奥数

一、数列极限的概念辨析

1.若 lim an = C , 那么2 2 n →∞

A. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an = cn →∞ n →∞

B. lim an =| c | D. lim an可能不存在

奥数

2.若 lim an = A, lim bn = B, 则n →∞ n →∞

下列各式中必定成立的是 n n A. lim(nan ) = nA B. lim an = An →∞ n →∞

an A C. lim = n →∞ b B n D. lim(man + kbn ) = mA + kBn →∞

奥数

3.对于下列五个命题： 对于下列五个命题： 对于下列五个命题

an p (1)若 lim an = p, lim bn = r , 则 lim = n →∞ n →∞ n →∞ b r n(2)若 lim(anbn ) = pr , 则 lim an = p, lim bn = rn →∞

(3)若 lim an = p, 则 lim (a ) = p (m为常数)m n →∞ n →∞

n →∞ m n

n→

(4)若 lim an = p, 则 lim (nan ) = npn →∞ n →∞

c (5)若 lim =

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第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案

一、单项选择题

1．下面函数与y?x为同一函数的是（ ） A.y?∴选C

4．下列函数在???,???内无界的是（ ）

A.y?1 B.y?arctanx 21?x?x? B.y?2C.y?sinx?cosx D.y?xsinx

解: 排除法：A

x2 C.y?elnx D.y?lnex

解：?y?lnex?xlne?x，且定义域

xx1有界，??21?x2x2Barctanx??2有界，C sinx?cosx?2

???,???， ∴选D

2．已知?是f的反函数，则f?2x?的反函数是（ ）

故选D 5．数列?xn?有界是limxn存在的（ ）

n??A 必要条件 B 充分条件

C 充分必要条件 D 无关条件 解