圆锥曲线的弦长

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圆锥曲线三种弦长问题

标签:文库时间:2025-01-21
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圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中,圆锥曲线的综合问题,常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体,而直线与圆锥曲线的弦长问题,是在圆锥曲线中常见一个重要方面,下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究: 一、一般弦长计算问题:

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?,直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22,abab且e?6,过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB, 3⑴求椭圆的方程;⑵弦AB的长度.

思路分析:把直线l2的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解. 解析:⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22,得a?b?8,………①

22c22622 又e?,即2?,所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2,所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?,∴l2的方程为:y?3?x?2?, 代入椭圆C的方程,化简得,5x?18x?6?0 由韦达定理知,x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26, 5由弦长公式,得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?, 55即弦

圆锥曲线三种弦长问题

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圆锥曲线三种弦长问题的探究

在高考中,圆锥曲线的综合问题,常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体,而直线与圆锥曲线的弦长问题,是在圆锥曲线中常见一个重要方面,下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究: 一、一般弦长计算问题:

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?,直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22,abab且e?6,过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB, 3⑴求椭圆的方程;⑵弦AB的长度.

思路分析:把直线l2的方程代入椭圆方程,利用韦达定理和弦长公式求解. 解析:⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22,得a?b?8,………①

22c22622 又e?,即2?,所以a?3b………………………….②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2,所以所求的椭圆的方程为6222 ⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?,∴l2的方程为:y?3?x?2?, 代入椭圆C的方程,化简得,5x?18x?6?0 由韦达定理知,x1?x2?从而x1?x2?2186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26, 5由弦长公式,得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?, 55即弦

圆锥曲线 中点弦2

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关于圆锥曲线的中点弦问题

直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题,是解析几何中的重要内容之一,也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型:

(1)求中点弦所在直线方程问题; (2)求弦中点的轨迹方程问题; (3)求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

x2y2

1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被点M平分,求这条弦所在的直线方程。 例1 过椭圆

164

解法一:设所求直线方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理得:

(4k2 1)x2 8(2k2 k)x 4(2k 1)2 16 0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程的两个根,于是

xx8(2k2 k)1 2 4k2

1

, x2 又M为AB的中点,所以

1 x24(2k2 k)

4k2 1

2, 解得k 1

2

故所求直线方程为x 2y 4 0。

解法二:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),M(2,1)为AB的中点, 所以x1 x2 4,y1 y2 2,

又A、B两点在椭圆上,则x2

1 4y2

2

2

1 16,x2 4

解圆锥曲线中点弦问题的通法

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圆锥

线差

A(2,1),所以z,+x2一玉兹煞娑=4,

所以k=--詈,直线方程为y--l一一詈(z一2),即

9z+8y--26=0.

巾点题的曲弦逦法去

‘,

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来,相互转化,进而求解;另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算.

■r’,.

◇河北张艳红

名例2已知双曲线z2—2y2—4,求以(1,1)为中

点的弦的长度.

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一,这部分内容是对数学知识的综合考查,注重对数学思想和方法的运用,因此考生接受起来比较困难,但我们只要掌握解此类题的通性通法,淡化特殊技巧,便可使复杂问题简单化.下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法.1通法归纳

1)韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.

2)点差法

2(y}一y2).故此弦斜率志一zYl一-zY.__丝z2=淼=21.

雁=J4-4x(-9)一_√l+{一5抠.

决,这就是“点差法”的灵活应用.

■P’,

Q/解析

依题意,设弦端点为A(xl,Y1),B(xz,yz),则z--2yi一4,z;一2y;----4,所以zi—z;一

此弦直线方

解圆锥曲线中点弦问题的通法

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圆锥

线差

A(2,1),所以z,+x2一玉兹煞娑=4,

所以k=--詈,直线方程为y--l一一詈(z一2),即

9z+8y--26=0.

巾点题的曲弦逦法去

‘,

●●

蟛毒裳曩嘉案曩鏊嚣等萋萎釜兰星奏蓑喜考

弦的中点坐标联系起来,相互转化,进而求解;另外涉及垂直关系往往也是利用韦达定理、设而不求来简化运算.

■r’,.

◇河北张艳红

名例2已知双曲线z2—2y2—4,求以(1,1)为中

点的弦的长度.

圆锥曲线中点弦问题是高考常考内容之一,这部分内容是对数学知识的综合考查,注重对数学思想和方法的运用,因此考生接受起来比较困难,但我们只要掌握解此类题的通性通法,淡化特殊技巧,便可使复杂问题简单化.下面我们就来谈谈在圆锥曲线中有关中点弦问题的通性通法.1通法归纳

1)韦达定理法

将直线方程代人圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解.

2)点差法

2(y}一y2).故此弦斜率志一zYl一-zY.__丝z2=淼=21.

雁=J4-4x(-9)一_√l+{一5抠.

决,这就是“点差法”的灵活应用.

■P’,

Q/解析

依题意,设弦端点为A(xl,Y1),B(xz,yz),则z--2yi一4,z;一2y;----4,所以zi—z;一

此弦直线方

圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

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圆锥曲线焦点弦长的一个公式在高考中的妙用

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?

定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为?的直线l经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则

(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长|AB|?H; 22|1?ecos?|(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长|AB|?H.

|1?e2sin2?|本文仅对焦点在x轴上,中心在原点的双曲线为例证明,其它情形请读者自证.

x2y22b2c证明:设双曲线方程为2?2?1(a>0,b>0),通径H?,离心率e?,弦AB

aaab所在的直线l的方程为y?k(x?c)(其中k?tan?,?为直线l的倾斜角),其参数方程为

?x??c

圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题

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第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目,问题的求解不依赖于传统的“设点,联立,消元,韦达定理整体代入”步骤,而是能够计算出交点的坐标,且点的坐标并不复杂,然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识:

1、韦达定理的实质:在处理解析几何的问题时,韦达定理的运用最频繁的,甚至有的学生将其视为“必备结构”,无论此题是否有思路,都先联立方程,韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么?实质是“整体代入”的一种方式,只是因为在解析几何中,一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关,利用“韦达定理”可进行整体代入,可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具,只是在需要进行整体代入时,才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣:

(1)优点:如果能得到点的坐标,那么便可应对更多的问题,且计算更为灵活,不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

(2)缺点:有些方程的根过于复杂(例如用求根公式解出的根),从而使得点

圆锥曲线问题是高考的重点(切点弦方程)

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圆锥曲线问题是高考的重点,曲线的切线又是近几年的热点,这类题对学生的要求比较高,充分考查学生的逻辑思维能力,本文在对江西高考试题分析的基础上归纳总结出圆、椭圆、抛物线、双曲线的切点弦方程的求法。

背景知识

已知圆C:x2+y2= r2(r>0),点A(x0, y0)是圆C上一点,求以点A 为切点的切线方程。

分析:易知以A(x0, y0)为切点的直线方程为:x0x+y0y=r2(r>0).

(2011年江西高考理科第14题)

问题1:若椭圆的焦点在x轴上,过点(1,

)作圆x2+y2=1的切线,切

点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

解:设A(x1,y1) B(x2,y2)

∵点A、B在圆x2+y2=1上,则

过点A(x1,y1)的切线方程为L1:x1x+y1y=1.

过点B(x2 ,y2)的切线方程为L2:x2x+y2y=1.

由于L1,L2经过点(1,

)则x1+y1=1 x2+y2=1

故(x1,y1)(x2,y2)均为方程x+

y=1的解。

∴经过A、B两点的直线方程AB:x+

y=1

设椭圆的右焦点为(c ,0),上顶点为(0 ,b)

由于直线AB经过椭圆右焦点

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

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圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)

圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?

定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为 的直线l经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则

(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长|AB|

H

; 22

|1 ecos |

(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长|AB|

推论:

H

.

|1 e2sin2 |

|AB| (1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,

当A、B不在双曲线的一支上时,|AB|

H

1 e2cos2

H

;当圆锥曲线是抛物线时,

e2cos2 1

|AB|

H

. 2

sin

H

1 e2sin2

|AB| (2)焦

高考数学圆锥曲线中几个切点弦的相关问题 - 图文

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切点弦的相关问题

21.椭圆、双曲线、抛物线的切点弦性质1(等比中项)

实验成果 动态课件 椭圆中心O与点P(x0,y0)的连线交椭圆于N,交切点弦于点2Q,则|OQ||OP|?|ON|.且Q点平分切点弦AB(无论点P在曲线的什么位置,上述结论均成立).且点P与直线Ax0x?By0y?1沿直线PO作反向运动.

备用课件 双曲线中心O与点P(x0,y0)的连线交双曲线于N,交切点弦于点Q,则|OQ||OP|?|ON|.且Q点平分切点弦2AB(无论点P在曲线的什么位置,上述结论均成立).且点P与直线Ax0x?By0y?1沿直线PO作反向运动(直线保持平行).备用课件

设过点P与抛物线对称轴平行(中心在对称轴方向的无穷远处)的直线交抛物线于N,交切点弦于点Q,则|O?Q||O?P|?|O?N|.且Q点平分切点2弦AB(无论点P在曲线的什么位置,上述结论均成立).且点P与直线y0y?p(x?x0)作反向运动(直线保持平

问题探究21 已知椭圆

x2行).备用课件 8?y24?1,过原点O(0,0),点T(2,1)的直线l交椭圆于点N,过点T的中点弦

2为AB,过A,B分别作切线l1,l2且交于点P,求证:|OT||OP|?|ON|.

22.椭圆、双曲线、