泛函分析心犯寒

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

2012泛函分析复习资料 一、定义

1. Page1 线性空间 2. Page2 Hamel基

3. Page3 凸集，凸包coE 4. Page4 度量空间

5. Page10 范数，线性赋范空间 6. Page12 内积，内积空间 7. Page14 平行四边形公式

8. Page23 Cauchy列，完备空间，Banach空间，Hilbert空间 9. Page27 稠密，无处稠密，第一纲集，第二纲集 10. page30 线性算子，线性泛函，N（T） 11. Page31 压缩映射，不动点

12. Page34同构映射，Page35 等距同构

13. page37 紧集，相对紧集，ε网，完全有界集 二、课后习题

1解答：当p?0时，d(x,y)?x?y不满足正定性，R在d下不是度量空间， 当p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性，不满足三角不等式，故R在d下不是度量空间，

当0?p?1时，d(x,y)?x?y满足正定性，对称性和三角不等式，故R在d下是度量空间，

若令x?y?d(x,y)，仅当p?1时，?满足范数的正定性，正齐次性和三角不等式，故此时R在?下是赋范空间。

2证明：

第七章 度量空间和赋范线性空间

复习题：

1.设(X,d)为一度量空间，令

U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??},

问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)？

2.设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数的全体，定义

?d(f,g)??r?012rmaxa?t?b|f(r)(t)?g(r)(t)|(t)|1?|f(r)(t)?g(r).

证明C?[a,b]按d(f,g)成度量空间.

3.设B是度量空间X中闭集，证明必有一列开集O1,O2,?,On,?包含B，而且?Onn?1??B.

4.设d(x,y)为空间X上的距离，证明

?(x,y)?dd(x,y)1?d(x,y)

也是X上的距离.

5.证明点列{fn}按题2中距离收敛于f?C[a,b]的充要条件为fn?的

各阶导数在[a,b]上一致收敛于f的各阶导数.

6.设B?[a,b]，证明度量空间C[a,b]中的集

{f|当t?B时, f(t)=0}

为C[a,b]中的闭集，而集

A?{f|当t?时B,|f(t)?|a}(

泛函分析知识点小结及应用

§1 度量空间的进一步例子

设X是任一非空集合，若对于?x,y?且满足 1．非负性：dX，都有唯一确定的实数d?x,y?与之对应，

?x,y??0，d?x,y?=0?x?y;

?x,y??d?x,z?+d?y,z?， 则称(?，d)

2. 对称性：d(x,y)=d(y,x);

3．三角不等式：对?x,y,z??，都有d为度量空间，?中的元素称为点。

1x 欧氏空间nR 对R中任意两点2nn?2?d?x,y?=???xi?yi??.

1??i??表示闭区间?a,b?上实值(或复值)连续函数的全体.对C?a,b? C?a,b空间 C?a,b?中任意两点x,y，定义d?x,y?=maxx?t??y?t?. ?a?t?b??1p?pp???. l（1?p???)空间 记l=?x??xk?k?1??xk??1p?p??pk??. 设x??xk?k?1，y??yk?k?1?l，定义 d?x,y?=???xi?yi??i?1??例1 序列空间S

??x?y?(或复数列?????x?xy?y令S表示实数列)的全体，对，，令 kkkk1k?1k?1. d?x,y?=k1?x?ykkk?

《泛函分析》读书笔记

课程题目：泛函分析 任课教师：高云兰博士 学生姓名：崔继峰 学生学号：20081058

2008年12月10日

《泛函分析》读书笔记

Reading Notes about Functional Analysis

崔继峰

所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算数学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不

泛函分析 江泽坚 版,答案,有全部答案呢,可以向我索要哦!泛函好难,答案是必须有的!

X是Banach空间，X0

是X的闭子空间，映射 :X X/X0，定义为

其中[x]表 :x [x] x X，

示含x的商类. 求证 是开映射.

证法1 用开映射定理, 只需证明 满射. 事实上,

[x] X X0,任取x [x],则有x X, x=[x].

证法2 不用开映射定理. 教材p94, 定理 2.3.8 的证明中的 (1)为了证T是开映射，必须且仅须 >0, s.t.

TB( ,1) U( , ) . 取 =1.并设

B( ,1) X中的开单位球;

1

U ,1) X X0中的开单位球.

下面证明U( ,1)= B( ,1).

x B( ,1) x<1 [x] x<1 x=[x] U( ,1) B( ,1) U( ,1)反之,

[x] U( ,1) [x]<1 x [x],使得

x<1 x B( ,1),[x]= x. U( ,1) B( ,1)

2.3.2设X,Y是Banach空间. U L(X,Y)，设方程

泛函分析论文

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。

§1 度量空间

§1.1 定义：若X是一个非空集合，d:X?X值函数，对于?x,y?X，有

（1）d(x,y)?0当且仅当x（2）d(x,y)?d(y,x)；

（3）d(x,y)?d(x,z)?d(y,z)，

则称d为X上的度量，称(X,d)为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式） 其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子

例：1、离散的度量空间(X,d)，设X是一个非空集合，?x,y?X，当

?R是满足下面条件的实

?y；

?1,当x?y。

d(x,y)???0,当x=y2、序列空间S ，d(x,y)?1|?i-?i|是度量空间 ?i21+|?i-?i|i=1?3、有界函数

泛函分析课程总结

数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x,y，都有唯

一确定的实数d?x,y?与之相对应，而且满足

?1、d?x,y??0,d?x,y??0的充要条件是x=y;???2、dx,y?dy,x;?????? ??3、dx,y?dx,z?dz,y,对任意z都成立。????????则称d为X上的一个度量函数，（X,d）为度量空间，d(x,y)为x,y两点间的度量。

2. 度量空间的例子

①离散的度量空间?X,d?

设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y?X,令

?1,当x?y?d?x,y????

?0,当x?y?②序列空间S

令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点

x???1,?2,...,?n,...?及y???1,?2,...,?n,...?，令

1?i??id?x,y???i

21??i??ii?1?③有界函数空间B（A）

设A是一给定的集合，令B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点x,

列集与列紧集 例题1. 证明A??1111?1?,cost,sint,cos2t,sin2t,??是紧距离空间。

????2???第八章 有界线性算子和连续线性泛函

例1：Tf?x???af?t?dt，T:L1?a,b??C?a,b?，则T?1。

例2：设X是赋范线性空间，则dimX????X上的任意线性泛函皆连续。

第九章 内积空间和希尔伯特空间

题1：设M是内积空间X的非空子集，证明：?M

题2：设M为Hilbert空间X的线性子空间，若?x?X在M上的投影x0皆存在。证明：M?M?X。

题3：设M是Hilbert空间X的非空子空间。证明：?M??是X中包含M?___x???????___??M， M??M?。

?????的最小闭子空间。

题4：设M是希尔伯特空间X的闭子空间，?x?X，证明：

?x?z:z?M??max?x,y?:y?M?,M?1。 min

题5：设X是??1,1?内所有实值连续函数全体所构成的集合，Y为??1,1?内奇连续函数全体，Z是??1,1?内偶连续函数全体。证明：X?Y?Z。

??题6：设H是Hilbert空间，?en,n?1?是其中的规范正交系，x?H， 证明：函数f??1,?2,??3??x???iei当

泛函分析习题答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、

试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12

x?y1?x?y在R上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2

故有x?y?x?z?z?y

121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所

a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以

a?a?有

?b1?b??a?b????a?b?,

b从而有

a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即

2-1

y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z

泛函分析习题答案

4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)

1b定义了度量。

证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?