变倍问题的例题及答案

变倍问题

1、银河小学一年级与六年级少先队员们为希望小学的同学们捐书，六年级的捐书量是一年级的6倍，若两个年级各增加30本，则六年级的捐书量是一年级的4倍，两个年级原来各捐书各多少本？

2、今年爸爸的年龄是小光年龄的5倍，6年后，爸爸的年龄是小光年龄的3倍，问今年爸爸、小光的年龄各多少岁

3、两个工程队，甲队的人数是乙队人数的3倍，因工作需要，从乙队调出9人进入甲队，这时，甲队的人数是乙队人数的6倍，问两个工程队原来各有多少人？

4、王芳平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.4元，若两人各买了一本4.4元的故事书后王芳的零花钱就是陈刚的8倍。问两人原来各有零花钱多少？

5、箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球。如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么箱子里原来红球比白球多多少只？

6、两堆煤，第一堆的重量的第二堆重量的6/7，第一堆用去9吨，第二堆用去8吨，第一堆剩下的重量是第二堆剩下重量的3/4，两堆原来各有煤多少吨？

7、实验室里有一杯浓度15%的盐水，杯中加入8克盐、12克水，浓度变为20%，问这杯盐水原来有多少克？

练一练

1、冬冬原有书的本

变倍问题

1、银河小学一年级与六年级少先队员们为希望小学的同学们捐书，六年级的捐书量是一年级的6倍，若两个年级各增加30本，则六年级的捐书量是一年级的4倍，两个年级原来各捐书各多少本？

2、今年爸爸的年龄是小光年龄的5倍，6年后，爸爸的年龄是小光年龄的3倍，问今年爸爸、小光的年龄各多少岁

3、两个工程队，甲队的人数是乙队人数的3倍，因工作需要，从乙队调出9人进入甲队，这时，甲队的人数是乙队人数的6倍，问两个工程队原来各有多少人？

4、王芳平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.4元，若两人各买了一本4.4元的故事书后王芳的零花钱就是陈刚的8倍。问两人原来各有零花钱多少？

5、箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只，每次从箱子里取出7只白球、15只红球。如果经过若干次以后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么箱子里原来红球比白球多多少只？

6、两堆煤，第一堆的重量的第二堆重量的6/7，第一堆用去9吨，第二堆用去8吨，第一堆剩下的重量是第二堆剩下重量的3/4，两堆原来各有煤多少吨？

7、实验室里有一杯浓度15%的盐水，杯中加入8克盐、12克水，浓度变为20%，问这杯盐水原来有多少克？

练一练

1、冬冬原有书的本

差倍问题

已知两个数的差与它们的倍数关系，求两个数各是多少，这一类题称为“差倍问题”。解答方法是：两个数的差÷倍数的差=1倍数，然后根据差或倍求另一个数。

例1. 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。小明买苹果和梨各多少个？

例2. 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第二

个书架再放入40本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。问两个书架原来各存书多少本？

例3. 甲乙两人分别带了150元和70元去买东西，两人买了同样的东西之后，

剩下的钱甲是乙的5倍。甲乙两人各剩下多少钱？每人花了多少钱？

例4. 小明的爸爸办了一个养鸡场，今年比去年多养了4000只小鸡，且今年的

小鸡数比去年的3倍少2000只。今年、去年各养了多少只？

例5. 被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？

例6. 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克，则两桶色拉油就一样重；

如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙两桶原来各有色拉油多少千克？

例7. 两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是

多少？

例8.

差倍问题

已知两个数的差与它们的倍数关系，求两个数各是多少，这一类题称为“差倍问题”。解答方法是：两个数的差÷倍数的差=1倍数，然后根据差或倍求另一个数。

例1. 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个。小明买苹果和梨各多少个？

例2. 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取出200本书，而第二

个书架再放入40本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的3倍。问两个书架原来各存书多少本？

例3. 甲乙两人分别带了150元和70元去买东西，两人买了同样的东西之后，

剩下的钱甲是乙的5倍。甲乙两人各剩下多少钱？每人花了多少钱？

例4. 小明的爸爸办了一个养鸡场，今年比去年多养了4000只小鸡，且今年的

小鸡数比去年的3倍少2000只。今年、去年各养了多少只？

例5. 被除数比除数大252，商是7，被除数、除数各是多少？

例6. 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入8千克，则两桶色拉油就一样重；

如果向乙桶中倒入12千克，乙桶的色拉油就是甲桶的5倍。甲、乙两桶原来各有色拉油多少千克？

例7. 两个数相除，商是4，被除数、除数、商的和是124。被除数和除数各是

多少？

例8.

第 9 讲 变倍问题—抓不变量

1、所谓“变倍问题”，是指两个数量之间的倍数关系，随着一个或者两个数量的增加或者减少而发生改变的一类应用题。解答“变倍问题”一般要用到这样一个规律：甲数是乙数的n 倍，如果乙数增加或者减少ｍ,那么甲数就要增加或者减少mn，才能使甲数仍是乙数的n倍。

2、变倍问题牢固树立抓“不变量”的思想，变倍问题中的不变量，一般有三类，如下：①“甲是乙的2倍，甲是丙的3倍”——不变量是甲

②“甲是乙的3倍，甲给乙2，甲变成乙的2倍”——不变量是甲、乙之和（给来给去和不变）

③“甲是乙的3倍，甲、乙都减少2，甲变成乙的4倍”——不变量是甲、乙之差（ 同增同减差不变）

【例1】学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花，其中黄花的盆数最多，是红花的4倍，是蓝花的3倍，蓝花比红花多20盆。请问：学校门口一共有多少盆花？

【例2】开始时甲池塘中鱼的数量是乙池塘的5倍，从甲池塘中取走90条鱼，乙池塘鱼的数量是甲池塘的2倍，求开始时甲池塘有多少条鱼？

【例3】师生二人，今年老师的年龄是学生的4倍。5年后，老师的年龄是学生的3

倍。今年师生二人各多少岁？

【例4】7年前张老师的年龄是王英的21倍，11年后张老师的年龄是王英的3

第一讲 和倍问题

例1.甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

解：160?（3+1）＝40（本）………………乙班 40?3＝120（本）

或160－40＝120（本）………………………甲班

例2.甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？ 分析：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量。从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量。最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍。

解：（30+120）?（2+1）＝150?3＝50（本） 乙班现有图书 50－30＝20（本）

例3.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 分析：把女生人数看作1倍数，则男生人数加上40是3倍数，那么全校人数加上40就是4倍数（见图）。

解：（760+40）?（3+1）＝200（人）…………女生 200?3－40＝560（人）

或760－200＝560（人）…………………………男生

例4.果园里有桃树、梨树、苹

奥数应用题浓度问题

1、把浓度为25%的盐水30千克,加水冲淡为15%的盐水,问需要加水多少千克？

2、有浓度为2.5%的盐水210克,为了制成浓度为3.5%的盐水,从中要蒸发掉多少克水？

3、一瓶100克的酒精溶液加入80克水后,稀释成浓度为40%的新溶液,原溶液的浓度是多少？

4、甲,乙两种酒精浓度分别为70%和55%,现在要配制浓度为65%的酒精3000克,应当从这两种酒精中各取多少克？

5、一杯纯牛奶,喝去25%再加满水,又喝去25%,再加满水后,牛奶的浓度是多少？

6、有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？

7、一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是?

8、有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克?

9、已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为3％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为2％。求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

10、有A、

1

高中阶段物理变力做功解题方法

【归纳探讨】

1.等值法（重要方法黄色突出显示）

等值法是若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以通过计算该恒力的功，求出该变力的功。由于恒力做功又可以用W=FScosa计算，从而使问题变得简单。也是我们常说的：通过关连点，将变力做功转化为恒力做功。

例题4：如图3，定滑轮至滑块的高度为H，已知细绳的拉力为F牛（恒定），滑块沿水平面由A点前进s米至B点，滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为?和β。求滑块由A点运动到B点过程中，绳的拉力对滑块所做的功。

图3

分析：在这物体从A到B运动的过程，绳的拉力对滑块

与物体位移的方向的夹角在变小，这显然是变力做功的问题。绳的拉力对滑块所做的功可以转化为力恒F做的功，位移可以看作拉力F的作用点的位移，这样就把变力做功转化为恒力做功的问题了。

解：由图3可知，物体在不同位置A、B时，猾轮到物体的绳长分别为：

s2?Hsin?s1?Hsin?

?H(11?)

sin?sin?那么恒力F的作用点移动的距离为：s?s1?s2故恒力F做的功：W?FH(1sin??1) sin?例5、用细绳通过定滑轮把质量为m的物体匀速提起。人从细绳成竖直方向开始，沿水平面前进s，使细

第七讲 年龄问题 【 基本概念和有关知识】

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。 【 例题讲解】

例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

例2 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？

例3 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？

例4 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是7

第七讲 年龄问题 【 基本概念和有关知识】

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。 【 例题讲解】

例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

例2 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？

例3 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？

例4 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是7