高数同济六版上册课后答案

1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));

向量的模? 向量的大小叫做向量的模? 向量a、?a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB|? 单位向量? 模等于1的向量叫做单位向量?

零向量? 模等于0的向量叫做零向量? 记作0或0? 零向量的起点与终点重合? 它的方向可以看作是任意的?

向量的平行? 两个非零向量如果它们的方向相同或相反? 就称这两个向量平行? 向量a与b平行? 记作a // b? 零向量认为是与任何向量都平行? 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法

3．向量与数的乘法

设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz)

即 a?axi?ayj?azk? b?bxi?byj?bzk ? ?

则 a?b ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)? a?b? (ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k?(ax?bx? ay?by? az?bz)?

?a??(axi?ayj?azk) ?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ?(?ax? ?ay? ?az

第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表 2、公式

??f(x)dx??f(x)和?f?(x)dx?f(x)?C

?12x?C 2?3、注意如下问题：（填空、选择、判断） 若e?x2是f(x)的原函数，则xf(lnx)dx??若f(x)是e?x的原函数，则

?f(lnx)1dx? ?C0lnx?C xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。 A 1?sinx; B 1?sinx; C 1?cosx; D 1?cosx

4.2 换元积分法

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)?f(?(x))??(x)的形式， 因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①

????f(x)1xdx?2?f(x)(x)??2?f(x)dx

11?f(ax?b)(ax?b)dx?f(ax?b)d(ax?b) ??aa②③

f(ax?b)dx?1f(lnx)dx??f(lnx)(lnx)?dx??f(lnx)d(lnx)

x(2k?1)④sin?xcosnxdx??sin2kxcosnxsinxdx???(1?cos2x)cosnxdcosx xsinnxdx??cos2kxsinnxcosxdx??

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高等数学第六版上册课后习题答案

第一章:

习题1 1

1 设A ( 5) (5 ) B [ 10 3) 写出A B A B A\B及A\(A\B)的表达式

解 A B ( 3) (5 )

A B [ 10 5)

A\B ( 10) (5 ) A\(A\B) [ 10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (A B)C AC BC 证明 因为

x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x AC BC 所以 (A B)C AC BC

3 设映射f X Y A X B X 证明 (1)f(A B) f(A) f(B)

(2)f(A B) f(A) f(B) 证明 因为

y f(A B) x A B 使f(x) y

(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)

y f(A) f(B) 所以 f(A B) f(A) f(B) (2)因为

y f(A B) x A B 使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f

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第一章

习题1-1

1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式.

解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞),

A ?

B =[-10, -5),

A \

B =(-∞, -10)?(5, +∞),

A \(A \

B )=[-10, -5).

2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C .

证明 因为

x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C .

3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明

(1)f (A ?B )=f (A )?f (B );

(2)f (A ?B )?f (A )?f (B ).

证明 因为

y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y

?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )

? y ∈f (A )?f (B ),

所以 f (A ?B )=

第八章 多元函数的微分法及其应用

§ 1 多元函数概念

一、设f(x,y)?x2?y2,?(x,y)?x2?y2,求:f[?(x,y),y2].

答案：f(?(x,y),y2)?(x2?y2)2?y4?x4?2x2y2?2y4

二、求下列函数的定义域：

x2(1?y)22{(x,y)|y?x?1}; 1、f(x,y)? 221?x?yy2、z?arcsin {(x,y)|y?x,x?0};

x三、求下列极限：

x2siny 1、(x,ylim （0） )?(0,0)x2?y2 2、

y(1?)3x (e6)

(x,y)?(?,2)xlimx2y四、证明极限 (x,ylim不存在. )?(0,0)x4?y2证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着y?x趋于（0，0）时，极限为 二者不相等，所以极限不存在

21, 21?,(x,y)?(0,0)?xysin22五、证明函数f(x,y)?

习题10-1 二重积分的概念与性质

1.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： （1）成；

2322D与，其中积分区域是圆周(x?2)?(y?1)?2所围(x?y)d?(x?y)d?????DD

（2）

??ln(x?y)d?与??[ln(x?y)]d?，其中D是三角形闭区域，三顶点分别为(1,0)，

DD2(1,1)，(2,0)；

2.利用二重积分的性质估计下列积分的值： （1）I?22sinxsinyd?，其中D?{(x,y)|0?x??,0?y??}； ??D

（2）I?2222，其中D?{(x,y)|x?y?4}. (x?4y?9)d???D

（3）.I???Dd?x?y?2xy?16122，其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?2}

解?f?x,y???x?y?2?16，积分区域的面积等于2，在D上f?x,y?的最大值

1

M?111?x?y?0?，最小值m?22??x?1,y?2? 453?4故0.4?I?0.5

习题10-2 二重积分的计算法

1.计算下列二重积分： （1）

22(x?y)d?，其中D?{(x,y)||x|?1,|y|?1}； ??D

（2）

??xcos(x?y)d?，其中D是顶点分别为(0,0)，(

练习一

一．填空题（每小题4分，共24分）

?xy,(x,y)?(0,0),?221．函数f(x,y)??x?y 在点(0,0)处 ．

?0,(x,y)?(0,0)?（A）有二重极限但不连续．

（C）连续但不可偏导．

（B）不连续但可偏导． （D）连续且可偏导．

2．三元函数u?sin(xy)?cos(yz)在点?1,????,1?处的全微分4?du? ．

?z?x2?2y2, 3．曲线?在点(1,1,3)处的一个单位切向量

x?2y?z?6?为 ．

x2y24．设平面区域D：2?2?1?a?0,b?0?，则??(x?y)5d?? ．

abD5．设曲线L是三角形ABC区域的的正向边界，其中A、B、C的坐标分

别为(?1,0)、(1,0)、(0,1)，则2ycos2xdx?(sinxcosx?x)dy? ．

?L6．设an?（A）

(?1)n?1n?n?1,?2,??，则以下级数中收敛的是 ．

2n??(?1)n?1?n?1an． （B）?a． （C）?anan?1．

n?1n?1（D）

??an?1?

第一章 函数与极限

第一节 函 数

教学目的：本节主要是复习高中阶段学过的集合以及函数的概念、性质；介绍邻域、

分段函数、复合函数、初等函数的概念。

教学重点：分段函数、复合函数；

一、 集合、常量与变量

(一) 集合

1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C??等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物a是集合M的一个元素，就记a?M（读a属于M）；若事物a不是集合M的一个元素，就记a?M或a?M（读a不属于M）；集合有时也简称为集。

注意：（1）对于一个给定的集合，要具有确定性的特征，即对于任何一个事物或元素，能够判断

它属于或不属于给定的集合，二者必居其一.

（2）对于一个给定的集合，其中的元素应是互异的，完全相同的元素，不论数量多少，

在一个集合里只算作一个元素，就是说，同一个元素在同一个集合里不能重复出现. （3）若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集

2. 集合的表示法

表示集合的方法，常见的有列举法和描述法两种.

列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号{ }括起来，这种方法称为列举法.

3.全体自然

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第一章

习题1?1

1? 设A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? A\\B及A\\(A\\B)的表达式?

解 A?B?(??? 3)?(5? ??)?

A?B?[?10? ?5)?

A\\B?(??? ?10)?(5? ??)? A\\(A\\B)?[?10? ?5)?

2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? 证明 因为

x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? x?AC ?BC? 所以 (A?B)C?AC ?BC ?

3? 设映射f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)?

(2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明 因为

y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为

126 W??ksds?ks?18k(牛?厘米)?

0206 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要

使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?80080?? 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

?

功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??400408001dx?800?ln2(J)?

(??10)?dx?80000??080??80??2 3? (1)证明? 把质量为m