平面向量的数乘运算

向量数乘运算及其几何意义

班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题）

…… 1．设实数?与量a的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向

……………………线…………………………订…………………………装………………………… 是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ．

3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同

点 ； 不同

点 ． 二、理解与应用 1．已知（ ） A．?a??a C．?a??a

B．?a??a D．?a?0

??R，则下列命题正确的是

????2．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设AD?a，????BA?b，则

????EF=

向量数乘运算及其几何意义

班级 姓名 学号 年级 学科 一、概念回顾（认真阅读课本第63,64,65页，回答下面问题）

…… 1．设实数?与量a的积记为 ，它仍表示向量，它的长度是 ；它的方向

……………………线…………………………订…………………………装………………………… 是 ． 2．根据向量数乘的定义，可以证明向量数乘有如下运算律： （1） ；（2） ；（3） ．

3．向量数乘与实数乘法有哪些相同点和不同点： 相同

点 ； 不同

点 ． 二、理解与应用 1．已知（ ） A．?a??a C．?a??a

B．?a??a D．?a?0

??R，则下列命题正确的是

????2．已知E、F分别为四边形ABCD的边CD、BC边上的中点，设AD?a，????BA?b，则

????EF=

2.3.3 平面向量的坐标运算

在平面直角坐标中， 在平面直角坐标中，向量如何用坐 标来表示？ 标来表示？

→

→

a = x i+ y j

→

→

a = ( x, y )

1.已知 a= (x1, y1) , b= (x2, y2 ) , 求 a + b 的坐标.→ →

a+ b = (x1 + x2 , y1 + y2 )

两个向量和的坐标等于这两向量相应坐标的和 .

2.已知 a = (x1, y1) , b= (x2, y2 ) ,求 a b 的坐标.→ →

a b = (x1 x2 , y1 y2 )

两个向量差的坐标等于这两向量相应坐标的差 . 3.已知 a = ( x1, y1 ) ,求 λ a 的坐标.

λ a = ( λ x1 , λ y1 )实数与向量的积的坐标等于这个实数 乘原来的向量的相应坐标 乘原来的向量的相应坐标 .

→

(1)已知向量 a = ( 2,4), b = (5,2),求 a + 3b的坐标; (2)已知向量 a = ( 4,3), b = ( 3,8),求5a 2b的坐标.

4、如图,已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求向 如图,已知点A(x 的坐标。 量 AB 的坐标。A(x1,y1)

yB(x2,y2

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

2.2.1向量加法运算及 其几何意义

新课导入1. 物理学中，两次位移 同的。 的结果和位移 是相 OA, AB OB

2. 物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合 力如何求得？ 3. 两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三 角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

向量的加法

已知向量a,b,在平面内任取一点A,作 BC b,则向量 AC 叫做a与b的和，记作a+b,即 a+b= AB BC AC

a AB ,

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量和的方法叫做三角形法则，简记 “首尾相连，首是首，尾是尾”。

向量的加法 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作平 行四边形ABCD则以O为起点的对角线 OC 就是a与 b的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则。

向量的加法

对于零向量与任一向量a,规定a+0=0+a=a

例 题 已知向量a,b,用两种方法求作向量a+b。

解：

思 考 当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加 法与数的加法有什么关系？

归

纳

两个向量的和仍

2010年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）

平面向量的概念及运算

一．【课标要求】

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

二．【命题走向】

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：

（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；

（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】

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平面向量的概念及其线性运算

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

→

1．(2013·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OC→＝0，那么 ＋OB→＝OD→ A.AO

→＝3OD→ C.AO

( )．

→＝2OD→

B.AO→＝OD→ D．2AO

→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→

解析 由2OA→. ＝OD答案 A

→＝a，→＝b，→＝c，→＝d，

2．已知OAOBOCOD且四边形ABCD为平行四边形，则 ( )． A．a－b＋c－d＝0 C．a＋b－c－d＝0

B．a－b－c＋d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0

→＝DC→，故AB→＋CD→＝0，即OB→－OA→＋OD→－OC→＝0，即有解析 依题意，得AB

→－OB→＋OC→－OD→＝0，则a－b＋c－d＝0.选A. OA答案 A

→＋2OC→

3．(2013·长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA→|

|BC→

＝3OB，则的值为

→|AB|1A.2

1

B.3

1D.6

( )．

1

C.4

→||BC→→→→→→

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:1.向量加法三角形法则特点：首尾相接C

a bA

b

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B a b b

b

a

B

O

a

A

a b

3.向量减法三角形法则

b

B

O

a

A

BA a b

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

实际背景向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示，试画出该向量,看看它们有何关系？

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应

a

3a

( a) ( a) ( a) , 你能说明它们的几何意义吗？

思考：已知非零向量 a , 作出 a a a a a a a

和

记作 3 a O C B A OC OA AB BC a a a

记作 -3a P Q M N PN PQ QM MN ( a )( a )( a )

a

a a

一.向量数乘的

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:1.向量加法三角形法则特点：首尾相接C

a bA

b

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B a b b

b

a

B

O

a

A

a b

3.向量减法三角形法则

b

B

O

a

A

BA a b

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

实际背景向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示，试画出该向量,看看它们有何关系？

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应

a

3a

( a) ( a) ( a) , 你能说明它们的几何意义吗？

思考：已知非零向量 a , 作出 a a a a a a a

和

记作 3 a O C B A OC OA AB BC a a a

记作 -3a P Q M N PN PQ QM MN ( a )( a )( a )

a

a a

一.向量数乘的

。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点) 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)

3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)

4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)

[基础·初探]

教材整理1 向量的数乘运算

阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题.

1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

3.运算律：

设λ，μ为实数，则 (1)λ(μa)＝λμa； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有

(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________. ①a与－λa的方向相反； ②|－λa|≥|a|；

1

③a与λa方向相同； ④|－2λa|＝2|λ|·|a|.

【解析】 由向量数乘的几