二维稳态导热方程的解析解

计算传热学程序报告

题目：一维非稳态导热问题的数值解

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学院：能源与动力工程学院 专业：工程热物理 日期：2014年5月25日

一维非稳态导热问题数值解

求解下列热传导问题：

??2T1?T?0(0?x?L)?2???t??xT(x,0)?0?

?T(0,t)?1,T(L,t)?0?L?1,??1?1.方程离散化

对方程进行控制体积分得到：

?t??tt?2T1dxd?t?w?x2?e?t??tt?T?w?tdxd te

?t??tt[(?T?T1)e?()w]dt??x?x??ew(Tt??t?Tt)dx

非稳态项：选取T随x阶梯式变化，有

??ew(Tt??t?Tt)dx?(Tpt??t?Tpt)?x

扩散项：选取一阶导数随时间做显示变化，有

t??tt[(?T?T?T?T)e?()w]d

%%%%% 真解 u=sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(t) %%%%% 方程 diff(u,t)-Laplace(u)=f

%%%%% f=sin(pi*x)*sin(pi*y)*cos(t)+2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(t) %clear all % clc

%%%%finite element code for parabolic equation with constant coefficient %%%mesh%%

node=[0,0;1,0;1,1;0,1]; elem=[2,3,1;4,1,3]; T=1;

bdEdge=setboundary(node,elem,’Dirichlet’); n=input(‘Please input initial mesh:’); M=input(‘M=’); for i=1:n

[node,elem,bdEdge]=uniformrefine(node,elem,bdEdge); end

N=size(node,1); NT=size(elem,1); S=1/NT; r=1/M;

A=zeros(N,N); u=zeros(N,M+1)

%%%%% 真解 u=sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(t) %%%%% 方程 diff(u,t)-Laplace(u)=f

%%%%% f=sin(pi*x)*sin(pi*y)*cos(t)+2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(t) %clear all % clc

%%%%finite element code for parabolic equation with constant coefficient %%%mesh%%

node=[0,0;1,0;1,1;0,1]; elem=[2,3,1;4,1,3]; T=1;

bdEdge=setboundary(node,elem,’Dirichlet’); n=input(‘Please input initial mesh:’); M=input(‘M=’); for i=1:n

[node,elem,bdEdge]=uniformrefine(node,elem,bdEdge); end

N=size(node,1); NT=size(elem,1); S=1/NT; r=1/M;

A=zeros(N,N); u=zeros(N,M+1)

目 录

第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

目 录

第一章绪论 .............................................................................................................................................................................. I

1.1 课题背景和意义 .................................................................................................................................. I 1.2 课题研究现状 ....................................................................................................................................... I 1.3 课题要求........................................

稳态导热习题解析

1 固体内的一维导热问题

例1 具有均匀内热源强度qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为 tw1和tw2。

试求该平壁内的温度分布表达式。

解: 根据题意，这是导热系数为常数但有均匀内热源强度的稳态导热现象，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为

d2tqv??0 （1）

dx2?边界条件： x= -δ: t=tw1

x= δ: t=tw2 （2）

移项后积分该微分方程式两次可得其通解

qdt??vx?C1 dx?qt??vx2?C1x?C2 （3）

2?代入边界条件

tw1??tw2式（4）+式（5）

qv(??)2?C1(??)?C2 （4） 2?q??v?2?C1??C2 （5）

2?C2?tw1?tw2qv2??

华北电力大学本科毕业设计（论文）

二维抛物方程的有限差分法

摘要

二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。

首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。

关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式

I

华北电力大学本科毕业设计（论文）

FINITE DIFFERENCE METHOD FOR TWO-DIMENSIONAL PARABOLIC

EQUATION

%%%% 真解 u=sin(pi*x)*sin(pi*y) %%%

%%%% 方程 -Laplace(u)=f %%%%%%

%%%% f=2*pi^2*sin(pi*x)*sin(pi*y) %%%%%%

%%%%difference code for elliptic equations with constant coefficient %%%%% %clear all

%clc

N=20;

h=1/N;

S=h^2;

x=0:h:1;

y=0:h:1;

%%% Stiff matrix

A=zeros((N-1)^2,(N-1)^2);

for i=1

A(i,i)=4/h^2;

A(i,i+1)=-1/h^2;

A(i,i+(N-1))=-1/h^2;

end

for i=N-1

A(i,i-1)=-1/h^2;

A(i,i)=4/h^2;

A(i,2*i)=-1/h^2; %A(i,i+(N-1))=-1/h^2

end

for i=(N-2)*(N-1)+1

A(i,i-(N-1))=-1/h^2;

A(i,i)=4/h^2;

A(i,i+1)=-1/h^2;

end

for i=(N-1)^2

A(i,i-(N-1))=-1/h^2;

A(i,i)=4/h^2;

A(i,i-

第五次作业（前三题写在作业纸上）

一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，

?T?2T??2 ?t?x1. 用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程

2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。

4. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得

到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde

%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来 a=0.00001;%a的取值 xspan=[0 1];%x的取值范围 tspan=[0 20000];%t的取值范围

ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的 f=@(x)0;%初值

g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二

[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t);

mesh

课 题：第3章 基本二维绘图

课 时：共10学时（其中理论 1学时，操作9 学时），建议分六次课完成。 课 次 第1次课 第2次课 第3次课 第4次课 第5次课 第6次课 合计 理论课时 1 1 上机课时 1 2 1 2 1 2 9 自学（作业）课时

能力目标：

坐标系与坐标；熟悉绘图环境，掌握坐标系，掌握平面几何基本知识；基本二维图形对象的表示方法；绘制线条类图案：点、直线、射线、构造线、矩形、多边形、多线；绘制曲线类图案：绘制圆、圆弧、椭圆、椭圆弧、样条曲线、多段线。 本章重点：

坐标系、相对坐标与绝对坐标、极坐标与直角坐标的应用，绘制基本二维图形对象的基本操作方法。 本章难点：

坐标系及坐标的应用，线条类、曲线类绘制工具的应用。

教学用具：多媒体计算机网络机房，AutoCAD2009软件，随书配套光盘素材：“第3章”。 教学方法：建议以讲练结合，演示教学，布置任务等教学方法为主。

第1次课 2学时

基本二维绘图知识技能建构1

能力目标：

理解并掌握二维绘图命令工具的基本操作，主要包括以下基本技能内容：

坐标系与坐标；熟悉绘图环境，掌握坐标系，掌握平面几何基本知识；基本二维图形对象的表示方法；绘