初等数论与中学数学的联系论文

初等数论与中学数学

摘 要：《初等数论》是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业基础课，主要研究整数的性质，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。近年来，数论在中学数学中的运用越来越多，特别是在中学的数学竞赛中运用极为广泛。本文主要介绍初等数论在中学数学中的应用以及初等数论与中学数学教学的相关问题。 关键词：初等数论 中学数学 数学竞赛 中学数学教学 正 文：

一、初等数论在中学数学中的应用

在中学数学中，整数是最为常用的一种数之一，而初等数论是研究整数最基本的性质，与算术密切相关的一门学科，初等数论可以说是算术问题的延深。初等数论中的整除性质，抽屉原理等一直是中学数学竞赛最热门的话题，由此可见初等数论在中学数学中的应用是极为广泛的。

（一）中学数学中与初等数论相关的几个问题 1、整除问题

在小学的时候我们就知道，要知道一个数能不能被令一个数整除，可以用长除法来判断，但当被除数位数较多的时候，计算量增大，问题就变得非常麻烦了。但在学习了初等数论之后问题会得到大大的简化。

1.1整除的概念及其性质

定义1（整除） 设a、b是整数，b≠0，如果存在整数q,使得a=bq

02013 初等数论

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

第一章 整数的可除性

一、自学要求

（一）掌握整除的基本概念，会使用带余数除法和辗转相除法。

（二）掌握最大公因数和最小公倍数的基本理论，会求最大公因数和最小公倍数。

（三）掌握质数的性质和算术基本定理，会用筛选法求不超过给定正整数的质数。

（四）掌握数论函数［x］的概念，会求 N！的标准分解式。

二、考试内容

（一）整除性，带余数除法，辗转相除法。

（二）最大公因数，最小公倍数，质数及其性质，算术基本定理，筛选法。

（三）数论函数［x］，N！的标准分解式。

第二章 不定方程

一、自学要求

（一）掌握二元一次不定方程有解的充要条件，熟练掌握二元一次不定方程的解法。

（二）了解多元一次不定方程有解的充要条件，掌握三元一次不定方程的解法。

（三）了解勾股数，掌握不定方程 x2 + y2 = z2的正整数解的表示方法。

二、考试内容

（一）二元一次不定方程。

（二）多元一次不定方程，三元一次不定方程。

（三）勾股数，不定方程 x2 + y2

高等教育出版社《初等数论》答案

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m p mn + pq，则m p mq + np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >n，则n1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 + p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

ww

w.

第 4 节

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，y∈Z，17 2x + 3y，证明：17 9x + 5y。

5. 设a，b，c∈N，c无平方因子，a2 b2c，证明：a b。

32n 1

6. 设n是正整数，求C12n,C2n,L,C2n的最大公约数。

1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a + b)[a, b] = a[b, a + b]。

4. 求正整数a，b，使得a + b = 120，(a, b) = 24，[a,

初等数论学习总结

本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。

最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。

数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。

初等数论自学安排

第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时

整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法

整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理

[x]和{x}的性质及其在数论中的应用

习题要求p3：2，3 ； p8：

农村中学数学教学论文

【摘要】本文结合作者长期从事农村中学数学教学，了解农村中学教育现状：农村学生家长的文化素质、对教育的重视程度与城市学生家长有较大差距，农业生产生活的科技含量以及农村人文环境给学生的影响和熏陶与城市有较大差别，大多数学生数学基础差。笔者从现状出发，在文中利用例子，从激发兴趣，使用现代化手段等方面进行了探讨和总结。

作为农村中学教师要帮助学生树立远大理想，在教学中要低起点，重基础，找规律，改变辅导方式，面对全体学生。在教学中要创设恰当的教学情景，发挥地方资源优势。同时，教师要能走出去，多学习外借新的教育理念和新鲜的事物，开阔学生视野，不要老拘泥于个人得失的小圈子里，要放眼社会，面对未来。 【关键词】农村中学教育理念学习习惯理想兴趣辅导方式 中学数学是较为枯燥的一门学科，多数农村学生不喜欢学习数学，没有兴趣。因此，在教学中往往有许多老师有这样的同感：讲了很多遍的问题，学生还是不懂，或是一知半解。造成这种现象的原因是多方面的，对于农村的学生来说，由于缺乏良好的学习习惯，不能认真地、持续地听课，集中注意力的时间相当短；缺乏正确的数学学习方法，仅仅是简单的模仿、识记；另外，“应试教育”的思想也在严重影响农村中学教育。我从事农村中学数

中学数学教学改革论文

中学数学教学改革论文：中学数学教学改革方向研究 新的科技时代，我们面临的问题很多，其中最关键的就是怎样使产业升级，在这方面起重要作用的是人才。究竟需要什么样的人才呢？专家们指出需要以下四种素质的人才：第一，有新观念；第二，能够不断从事技术创新；第三，善于经营和开拓市场；第四、有团队精神。为此数学教学中应加强学生这四个方面能力的培养。

一、在数学教学中培养学生的新理念、新思想

新理念中不仅包含对事物的新认识、新思想，而且包含一个不断学习的过程。为此作为新人才就必须学会学习，只有不断地学习，获取新知识更新观念，形成新认识。在数学史上，法国大数学家笛卡尔在学生时代喜欢博览群书，认识到代数与几何割裂的弊病，他用代数方法研究几何的作图问题，指出了作图问题与求方程组的解之间的关系，通过具体问题，提出了坐标法，把几何曲线表示成代数方程，断言曲线方程的次数与坐标轴的选择无关，用方程的次数对曲线加以分类，认识到了曲线的交点与方程组的解之间的关系。主张把代数与几何相结合，把量化方法用于几何研究的新观点，从而创立解析几何学。作为数学教师在教学中不仅要教学生学会，更应教学生会学。在不等式证明的教学中，我重点教学生遇到问题怎么分析，灵活运用比较、分析、

初等数论：不定方程与高斯函数

一、不定方程

不定方程也称丢番图方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些要求（如是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程是数论的重要分支学科，它的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等都有较为密切的联系。其重要性在数学竞赛中也得到了充分的体现，是培养思维能力的好材料，它不仅要求对初等数论的一般理论、方法有一定了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性的解决问题。

1．不定方程问题的常见类型： （1）求不定方程的解；

（2）判定不定方程是否有解；

（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 2．解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

（5）无穷递推法。 以下给出几个求解定理：

（一）二元一次不定方程（组）

定义.形如ax+by=c(a,b,c∈Z,a,b不同时为零)

《初等数论》网络作业1

1、证明整数???能被1001整除。 50个0证明：利用公式：若n是正奇数，则a?b?(a?b)(a51317nnn?110?01?an?2b???abn?2?bn?1)

33163153∴10?01?10?1?(10)?1?(10?1)[(10)?(10)???10?1] ??? 50个0∴ 103?1?1001能够整除10?01??? 50个0

2、若n是奇数，证明8|(n2?1)。

证明：设n?2k?1,k?Z，则n2?1?(2k?1)2?1?4k(k?1)

∵ k，k＋1中必有一个是偶数 ∴ 8|(n2?1)

3、设正整数n的十进制表示为n?ak?a1a0，其中0?ai?9,0?i?k,ak?0，且

S(n)?ak?ak?1???a1?a0，证明9|n的充分必要条件是9|S(n)。

证明：∵ n?ak?a1a0?ak?10k???a1?10?a0k，

S(n)?ak?ak?1???a1?a0

∴ n?S(n)?ak?(10?1)???a1?(10?1) 对所有的0?i?k，有9|(10i?1) ∴ 9|(n?S(n))

∴ 9|n的充分必要条件是9|S(n)

4、设r是正奇数，证明对任意的正整数n，n?2不能

中学数学创新毕业论文发表

浅论中学数学教学创新

摘要：知识经济时代呼唤创新型人才，综合国力的竞争需要创新型人才，民族进步

需要创新型人才。作者结合教学实践，从课程理念角度谈谈对教程理念的理解，对教材的

挖掘，以及在此基础上展开的教学方法的创新。

关键词：中学数学教学教学方法课堂组织形式作业设计评价过程

不断更新教育观念，提高自身素质，创新教学，大力推进课程改革，提高教学质量，

使学生的综合能力得到提高是当前教师的首要任务。中学教育应该充分发挥数学课堂教学

的优势，不断进行教学改革与创新，培养学生优良的思维品质，塑造符合时代需求的合格

人才。实施创新教育，就是营造自由、和谐、开放、民主的学习氛围，让学生积极地参与

数学学习活动。教师要善于引导学生主动发现、自主探索，在探索过程中开发学生创造潜能，为每个学生提供创造发展的机会，让学生在合作、探索的情境中，获取基础知识和思

维方法，培养创新意识，发展创新能力。

一、探索新的课堂组织形式

目前由于大部分学校仍然采用班级授课制的形式，虽然它有利于以教师为中心的讲解，但不利于以学生为主体的自主学习。要想真正发挥学生的主体作用，必须积极探索班级、

小组、个人多种学习方式相结合的组织形式，增加小组研讨的学习方式，减少大课堂讲解

的学习方式

《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明：若m ? p?mn ? pq，则m ? p?mq ? np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >3n，则n1

是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为

a2 ? p（a > 0是整数，p为素数）

的形式。

第 2 节

1. 证明：12?n4 ? 2n3 ? 11n2 ? 10n，n?Z。 2. 设3?a2 ? b2，证明：3?a且3?b。

3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2 ? (n ? 1)2 = m2 ? 2不可能成立。 5. 设a是自然数，问a4 ? 3a2 ? 9是素数还是合数？

6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x