动点问题的题型

动点问题 题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）

动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、

相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点

1、（2009年齐齐哈尔市）直线y??

C A A E O C F B

A D C F O E B

O B 3x?6与坐标轴分别交4

图图图

2、（2009年衡阳市）

如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm， ∠ABC=60o．

（1）求⊙O的直径；

（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切； （3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0?t?2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

注意：第（3）问按直角位置分类讨论

3、（2009

重庆綦江）如图，已知抛物线

于A、B两点，动点P、Q同

中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题

例1：在△ABC中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC的面积；

(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动。如果点P的速度是4CM/秒，点Q的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半？

B (3)在第（2）问题前提下，P,Q两点之间的距离是多少？

C

A 例2: ()已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点， P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿A →B → C →E运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，△APE的面积为函数y， （1）写出y与x的关系式

(2)求当y＝

1时，x的值等于多少？ 3

例3：如图1 ，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，沿梯形的边由B→C → D → A 运动，设点P运动的路程为x ,△ABP的面积为y , 如果关于x 的函数y的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（

题型四 几何图形的折叠与动点问题

试题演练

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点P在线段AB上运动，设AP＝x，现将纸片

折叠，使点D与点P重合，得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原，则x的取值范围是__________.

2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边

AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________．

3. (’15洛阳模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、

CD边上的动点．在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF＝90°.则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．

4. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P为射线AB上一个动点，过点P作

PE⊥AB交射线AD于点E，将△AEP沿直线PE折叠，点A的对应点为F，连接FD、FC，若△FDC为直角三角形时，AP的长为________．

1

5. 如图，正方形ABCD的边长为2，∠DAC的平分

以圆为载体的动点问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质

1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

2．如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

1

（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B

2

的左侧），连接PA、PB．

题型：选择题 难度：中等 详细信息 如图①，在矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC、CD、DA运动至点A停止，设P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②，则梯形ORMN的面积为（ ） A．65 B．60 C．40 D．20 根据图②中y与x的变化关系得出梯形的高，以及梯形的上底和下底，进而求出面积即可． 【解析】 设P运动的路程为x，△ABP的面积为y， 当x=3时，y取到最大，当x=8时，y开始减小，则CD=5， 故AB=5，BC=3， 则S△ABC=×3×5=即R，M的纵坐标为：∵EO=3，则TN=3， ∴NO=11，RM=8-3=5， ∴梯形ORMN的面积为：（5+11）×故选：B． 题型：填空题 难度：中等 详细信息 =60． ， ， 已知动点P以每秒2cm的速度沿图甲的边框按从B→C→D→E→F→A的路径移动，相应的△ABP的面积S关于时间t的函数图象如图乙，若AB=6cm，试回答下列问题： （1）图甲中BC的长度是 ． （2）图乙中A所表示的数是 ． （3）图甲中的图形面积是 ． （4）图乙中B所表示的数是 ． 题型：解答题 难度：困难 详细信息

数轴上的动点问题

一．解答题（共15小题）

1．数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运动．（1）如图，若点N为线段OB上一点，AB＝16，ON＝2，当点C，D分别运动到AO，BN的中点时，求CD的长；

（2）若点C在线段OA上运动，点D在线段OB上运动，速度分别为每秒1cm，4cm，在点C，D运动的过程中，满足OD＝4AC，若点M为直线AB上一点，且AM﹣BM＝OM ，求的值．

2．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣4，20．

（1）若P点为线段AB的中点，求P点对应的数．

（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．

（3）在（2）的条件下，是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；

若不存在，请说明理由．

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3．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．

（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；

（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两

深本数学,就是深入本质学数学,是一项全新优秀的教育科研成果,是一套一通百通的数学学习方法。该方法通过深入数学的本质,找到中小学数学所有章节的知识规律和解题规律,其中包括四个大规律,十五个中规律和三十五个小规律。掌握这些规律,学生可以举一反三、一通百通,从而提高学习兴趣,提升思维能力,轻松学好数学。

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想

注重对几何图形运动变化能力的考查。

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改

§1.5 因动点产生的梯形问题

解梯形的存在性问题一般分三步: 第一步分类,第二步画图,第三步计算.

一般是已知三角形的三个顶点,在某个图象上求第四个点,使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线,这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点. 因为梯形有一组对边平行,因此根据同位角或内错角,一定可以构造一组相等的角,然后根据相似比列方程,可以使得解题简便.

如图1,已知直线y= x+3与x轴、 y轴分别交于A、 B两点,点F与点B关于x轴对称,点E在双曲线y= (x>0)上,如果四边形BAFE是梯形,怎样求点E的坐标呢?

过点F作AB的平行线,构造直角三角形相似,于是就可以用对应边成比例列方程了. 设点E的坐标为 ,根据tan∠BAO=tan∠EFH,得=.

- -

解方程= ,得

x=4或x=-2.

显然x=4是符合题意的,x=-2在第三象限,形成的梯形是BAEF,不符合题意.

如图2,四边形ABCD是等腰梯形,那么A、 B、 C、 D四个点的纵坐标之间有怎样的数量关系?如图3,四边形OABC是等腰梯形,那么O、 A、 B、 C四个点的横坐标之间有怎样的数量关系?

如图2中,由AE=FB(形),得yA-yD=yC-yB(

动点问题（单个主动点或单条动线类型）

3x?3与y轴、x轴交于点A、B，直线l2经过点A和点3C（1，0），动点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿射线BA运动，连结PC．

1．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y?（1）设△APC的面积为S，点P的运动时间为t秒，

求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与AOC相似？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． l2 A P B O y l1 C x

1

动点问题（单个主动点或单条动线类型）

2(10河北一模)如图，直线y＝kx＋b（k≠0）与坐标轴分别交于A、B两点，OA＝8，OB＝6．动点P从O点出发，沿路线O→B→A以每秒1个单位长度的速度运动，到达A点时运动停止． （1）求直线AB的解析式；

（2）设点P的运动时间为t（秒），△OPA的面积为S，求S与

t之间的函数关系式；

（3）当S＝12时，在坐标轴上是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

2

y B P O A x 动点问题（单个主动点或单条动线类型）

3（11厦门）如图，在四边

七年级数轴与线段动点问题

数轴上的线段与动点问题

1、已知线段AB＝12，CD＝6，线段CD在直线AB上运动，（CA在B的左侧，C在D的左侧）

（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC＝4，求MN。

（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB的延长线上一点，下列两个结论：

1 ○

12、如图，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝，点C对应的数是200。 2

（1）若BC＝300，求A点所对应的数；

A B C

（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运

动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR＝4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）

P A R Q C

200

（3）在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为－800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向

左运动，P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在

3从点D运动到点A QC－AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。 2

E