微分方程建模及matlab求解

微分方程建模

一般说来，微分方程建模的方法大致可以分为以下的几个步骤：

1.根据实际问题的要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、必要的参数等以及它们各自的变化区间；

2.列方程。可以在合理假设的前提下，利用导数表示斜率、速度、变化率的实际意义，根据一些基本定理（几何的、物理的、化学的或生物学的等等）或规律，找出未知函数的导数（或微分）与相关各量之间的等量关系式，建立微分方程并确定定解条件（注：如果没有现成的定理可供利用，也可以用微元分析法与模拟近似法列出微分方程）；

3.解微分方程；

4.对模型的适用性作出评价，即用已知的数据检验微分方程的解是否与实际相符。若结果与实际存在一定的差距，则还要对方程进行修正和调整，直到得出较满意的结果为止。

下面，我们就通过一些实例说明微分方程建模的具体步骤。

一.增长模型

在自然界和社会的经济活动中，许多量的变化都遵循着一个基本的规律：任一单位时间内的增量都与该量自身当时的大小成正比。运用这一基本规律，就可以建立起各种各样的增长模型。

1.马尔萨斯人口模型

严格地讲，讨论人口问题所建立的模型应属于离散型模型。但在人口基数很大的情况下，突然增加或减少的只是单一的个体或少数几个个体，相对于全体数量而言，这种改

求实

创新

团结

奉献

第六章

微分方程模型

求实

创新

团结

奉献

本章内容 微分方程基本概念及建模方法 一阶微分方程(组)模型 稳定性模型

求实

创新

团结

奉献

一、微分方程基本概念及建模方法

微分方程的阶 解：特解、通解、解析解、数值解 初值问题 在实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少 ”等关键词提示我们什么量在变化，关键词“速率”、“增 长”、“衰变”、“边际的”等常涉及导数。

求实

创新

团结

奉献

建立微分方程常用方法

运用已知物理定理 利用平衡与增长式 运用微元法

应用分析法

求实

创新

团结

奉献

1、运用已知物理定律

例1、物体冷却过程将物体放置在空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C,10分 钟后测量得温度为u1=1000C.我们要求此物体的温度u和时间t的关系，并计 算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持在ua=240C. Newton冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时，T的 变化速率正比于 T与周围介质的温度差。解：设物体在 t 时刻的温度为 u u t , t 0 , 根据牛顿冷却定律知， 成正比，建立模型如下： du k (u u a ) dt

第二章 微分方程方法

在应用数学方法解决实际问题的过程中，很多时候，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，在这种情况下，就需要我们建立微分方程模型来研究。事实上，微分方程是研究函数变化规律的有力工具，在物理、工程技术、经济管理、军事、社会、生态、环境、人口、交通等各个领域中有着广泛的应用.下面我们就介绍如何应用微分方程模型来解决实际问题.

利用微分方程解决的问题通常可以分为两类：一类问题要求把未知变量直接表示为已知量的函数，这时，有些问题可以求出未知函数的解析表达式，在很多情况下只能利用数值解法；另一类问题只要求知道未知函数的某些性质，或它的变化趋势，这时可以直接根据微分方程定性理论来研究.

2.1 微分方程的一般理论

2.1.1微分方程简介

所谓微分方程就是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?若未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程?而未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程? 例如

y?4??4y'''?10y''?12y'?5y?sin2x （2.1.1） x2y''?12xy'?5y?0 (y')2?xy?0

人口模型在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特 征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微 分方程模型。在自然界以及工程技术领域中，微分方程模型是大量存在的。它 甚至可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去，其影响是非常广泛的。 从现在起，我们将向大家介绍一些很著名的微分方程模型，它们中，最简 单，也是最直观的，就是人口模型。对于人口模型，我们向大家介绍两个模型。 1、MALTHUS模型 18世纪末，英国人Malthus在研究了百余年的人口统计资料后认为，在 人口自然增长过程中，净相对增长率(出生率减去死亡率为净增长率)是常数。 设时刻t的人口为N(t),净相对增长率为r,我们把N(t)当作连续变 量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+ t时间内人口的增长量为N ( t Δt ) N ( t ) r Δt N ( t )

N ( t Δt ) N ( t ) r N( t ) Δt

令 t→0,则得到微分方程、dN rN dt

设t=0时人口为N0,即有Nt 0

N0

我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为 N ( t ) N0 ert 如果r>

《数学实验》报告

实验名称 常微分方程的求解 学 院 专业班级 姓 名 学 号

2013年5月

一、 【实验目的】

1. 学习在MATLAB中如何求解微分方程的方法；

2. 掌握基本的微分求解命令，学会结合学过的基础知识求解方程； 3. 熟练运用基本的解法即数值解法解微分方程； 4. 注意不同方法下求得微分方程的优缺点。

二、 【实验任务】

xsinxy?1. 求解微分方程为cosy。

''y2. 用数值方法求解下列微分方程，用不同颜色和线形将y和画在同一个

图形窗口里：

y?ty?y?1?2t初始时间：t0=0;终止时间：tf

三、 【实验程序】 1.

y=dsolve('Dy=x*sinx/cosy','x') 2.

定义的程序：

function xdot=exf(t,x)

xdot=[0 1;1 -t]*x+[0;1]*(1-2*t);

主程序：

2

'''

=?;初始条件：y|t?0?0.1 y

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

姓名： 学号： 班级：

2013年11月19

日

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

摘要

对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题，课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式，以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后，我在利用matlab解线性方程组时，又出现“out of memory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大，超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次，当n=10，h=1/10或n=70，h=1/70时，我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时，无论是LU分解法或高斯消去法，还是gauseidel迭代法，都能达到很高的精度。

关键字：二阶椭圆偏微分方程差分方程out of memory LU分解高斯消去法gauseidel迭代法

一、题目重述

解微分方程：

(eyux(x,y))x (exuy(x,y))y (x y)ux(x,y) (x y)uy(x,y) u(x,y) ye xe e y x 1 e

摘要：在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。

本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果，对于第一问，利用微分方程反解出时间t（天），从而得到每个人达到自己理想目标的天数，同理，对于第二和第三问 ，利用以上方法，加上运动所消耗的能量，也可得出确切的时间，和所要保持体重所消耗的能量。

【关键字】：微分方程 转化 能量转换系数

1. 问题重述

现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 人数 身高 体重 BMI 理想目标 1 1.7 100 34.6 75 2 1.68 112 33.5 80 表一 3 1.64 113 35.2 80 4 1.72 114 34.8 85 5 1.71 124 35.6 90 题目要求如下：

（1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减

发放

常系数非齐次线性微分方程一、

f (x) = e P (x) 型 m+P (x)sinωx]型 n

λx

二、 f (x) = eλ x[P(x)cosω x l

高等数学》 《高等数学》

土木103、104 、 土木

2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

二阶常系数非齐次线性微分方程 :

y′′ + py′ +qy = f (x)y =Y+y*

(p,q为常数 为常数) 为常数

①

根据解的结构定理 , 其通解为齐次方程通解 非齐次方程特解

求特解的方法

— 待定系数法的待定形式, 的待定形式

根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解

代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .高等数学》 《高等数学》 土木103、104 、 土木 2010-2011学年第二学期 - 学年第二学期

发放

设非齐次方程(2)的右端 定理 4 设非齐次方程 的右端 f (x)是几个函

( 数之和, 数之和 如 y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) + f2(x)分别是方程, 而 y 与 y 分别是方程* 1 * 2

y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f1(x) ( y′′ + P(x)y′ +Q x)y = f2(x) (的特解, 就是原方程的特解.

二阶及高阶可降阶微分方程的求解与应用

摘要：根据自己的理解对几类可降阶的微分方程的解题技巧做了一

些总结归纳，并且将这些技巧在应用中得到体现。

关键词：微分方程 可降阶 应用

前言：通过参考大量论文后可以很清楚地发现，高阶微分方程的求

解没有统一的方法，并且几乎所有的论文在介绍高阶微分方程解题方法时均试图用二阶微分方程的求解来类推到高阶方程的求解中.归纳后即根据二阶齐次线性微分方程解的结构总结出求此方程通解的一种方法，再解出非齐次线性微分方程的一个特解就可以得到非齐次微分方程的通解。本篇文章主要是对一些比较特殊而实际应用很强的二阶常系数线性非齐次方程进行研究，从而推导出具有特殊性质的高阶微分方程的解法，用于解决在实际过程中会碰到的问题。

一、三类可降阶的二阶及高阶微分方程

可降阶方程作为一类具有特殊性质的二阶方程，具、有固定的解题模式，经过听取老师上课以及自己课后的整理，总结出三种可降阶类型。

1、形如：y''?f(x) 的方程

个人觉得这种类型方程是所有可降阶方程中最简单的一类，因此最先讨论。 方法：只需令

p?y'?，则p'?y''?积分可得p??f(x)dx?C1，

也就得到了y'??f(x)dx?C1，

茂名学院

毕业论文

题目常微分方程数值解及其MATLAB实现

英文并列题目Numerical Solution of Ordinary Differential Equations and MATLAB Implementation

学院理学院专业数学与应用数学（师范）

班级数学05-1班学生李尧光

指导教师（职称）李伟勋（副教授）

完成时间2009年1月15日至2009 年6月10日

毕业论文任务书

数学系数学与应用数学（师范）专业数学05-1班学生李尧光

一、毕业论文课题常微分方程数值解及其MATLAB实现

二、毕业论文工作自2009 年1 月15 日起至2009 年 6 月10 日止

三、毕业论文进行地点茂名学院图书馆、学生宿舍

四、毕业论文的内容要求

1．内容要求

《常微分方程数值解及其MATLAB实现》主要介绍常微分方程初值问题的数值解法，探讨了采用单步法求解常微分方程初值问题的数值解，并运用MATLAB进行编程求解。

2．过程要求

（1）4月10日前按要求组织所需资料，完成提纲、摘要。

（2）5月26日前按要求查阅相关文献、撰写论文初稿。

（3）6月9日前按要求完成论文终稿、打印装订以及答辩前的准备工作。

（4）6月10日至14日为小组答辩，15日至16日为公开答辩