动态规划原理和最大值原理

函数的最大值和最小值

教材分析 函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学

在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。

学情分析 在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数 一次函数 二次函数等最简单的函数，了解了他们的图 像和性质。鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。但这只是感性上的认识。为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。让学生有一个从具体到抽象的认识过程。对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的

函数的最大值和最小值

教材分析 函数的最大（小）值是函数的一个重要性质。它和求函数的值域有密切的关系，对于在闭区间上连续的函数，只要求出它的最值，就能写出这个函数的值域。通过对本课的学习，学生不仅巩固了刚刚学过的函数单调性，并且锻炼了利用函数思想解决实际问题的能力；同时在问题解决的过程中学生还可以进一步体会数学

在生活、实际中的应用，体会到函数问题处处存在于我们周围。

学情分析 在初中学生对已经经历了中学函数学习的第一阶段，学习了函数的描述性概念接触了正比例函数，反比例函数 一次函数 二次函数等最简单的函数，了解了他们的图 像和性质。鉴于学生对二次函数已经有了一个初步的了解。因此本节课从学生接触过的二次函数的图象入手，这样能使学生容易找出最高点或最低点。但这只是感性上的认识。为了让学生能用数学语言描述函数最值的概念，先从具体的函数y=x2入手，再推广到一般的函数y=ax2+bx+c (a≠0)。让学生有一个从具体到抽象的认识过程。对于函数最值概念的认识，学生的理解还不是很透彻，通过对概念的辨析，让学生真正理解最值概念的

利润最大值模型

摘要

本文首先就售价和预期销售量(千桶)的关系的问题上做了售价售量模型讨论，应用数据拟合的知识，就所得的数据（见表1）建立了一条关于售价和预期销售量的拟合曲线，通过观察拟合的曲线和原数据的拟合程度确定了售价和预期销售量呈线性关系。其中用方程是可以表示为

y(x)=-5.1333*x+50.4222

表1 售价 2．00 2．50 3．00 3．50 4．00 4．50 5．00 5．50 6．00 预期销41 38 34 32 29 28 25 22 20 售量（千桶） 在确定了销售价格和销售量的关系后，我们又在销售量上下功夫，建立了销售增长因子模型，据表2数据体现，适当的广告费投入能够增大销售增长因子，能提高销售量，这样就能增大利润，我们又拟合了关于广告费和销售增长因子的关系曲线，通过观察得知广告费和销售增长因子呈二次关系。其中用方程可以表示为

h(z)=-0.0004*z^2+0.0409*z+1.0188

表2 广告费（千元） 0 10 20 30 40 50 60 70 销售增长因子 1．00 1．40 1．70 1．85 1．95 2．00 1．95 1．80 为了能够得到最大利润，结合方程1和方程2，进一步得

动态规划的原理

1． 1．动态规划的基本理论

一．动态规划的术语

在研究现实的系统时，我们必须将系统具体的术语抽象为数学统一的术语。在此先简要介绍动态规划中的常用术语。

级：我们把系统顺序地向前发展划分为若干个阶段，称这些阶段为“级”。在离散动态规划中，“级”顺序的用自然整数编号，即1，2，…，n.

状态（λ）：用来描述、刻画级的特征。状态可以是单变量，也可以时向量。在此，我们假设研究的状态具有“无记忆性”，即当前与未来的收益仅决定于当前的状态，并不依赖于过去的状态和决策的历史。

状态空间（Λ）：由全部系统可能存在的状态变量所组成。

决策：在每一级，当状态给定后，往往可以做出不同的决定，从而确定下一级的状态，这种决定称为决策。描述决策的变量称为决策变量。对每个状态λ∈Λ，有一非空集X(λ)称为λ的决策集。决策变量x(λ)∈X（λ）。

变换：若过程在状态λ，选择决策x(λ)，可确定一个状态集T（λ，x(λ)）,过程将从λ移动到其中某个状态.T(λ,x(λ))称为变换函数，它确定过程从一个状态到另一个状态的演变。T（λ,x(λ)）可分为两种类型，即确定型和不确定型。确定型的T（λ,x(λ)）只含有一个元。不确定型指我们不能确切知道决策的结果，但作

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A A

mPm

BB（2）点A、B在直线同侧：

A BA

P m B m

A'A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 A m（1）两个点都在直线外侧：

A mP'P Q'Q n n

B

B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A mA mPB B Q n nB' A'（3）两个点都在内侧： m mAAP

BBQ n nB'（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的nn内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使AABA'B得围成的四边形ADEB周长最短.

D填空：最短周长=________________

mEm变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别

B'上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

n A'nA

Q APm mA\ 1

二）、

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： 一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： A A

mPm

BB（2）点A、B在直线同侧：

A BA

P m B m

A'A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 A m（1）两个点都在直线外侧：

A mP'P Q'Q n n

B

B（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

A mA mPB B Q n nB' A'（3）两个点都在内侧： m mAAP

BBQ n nB'（4）、台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的nn内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使AABA'B得围成的四边形ADEB周长最短.

D填空：最短周长=________________

mEm变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别

B'上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

n A'nA

Q APm mA\ 1

二）、

动态规划基本原理

近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的NOI几乎都至少有一道题目需要用动态规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推和建模上了。

要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 一、多阶段决策问题

如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。

各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果.

让我们先来看下面的例子：如图所示的是一个带权有向的多段图，要求从A到D的最短

图4-1 带权有向多段图

路径的长度(下面简称最短距离)。

我们可以搜索，枚举图中的每条路径，但当图的规模大起来时，搜索的效率显然不可能尽人意。让我们来试用动态规划的思路分析这道题：从图中可以看到，A点要到达D

——极小值原理李俊 Ljun@

最优控制

中国科学技术大学

提纲 极小值原理证明 Bang-Bang控制 最小能量控制 最小燃料量控制 离散时间极小值原理

中国科学技术大学

极小值原理 庞特里亚金，1956年提出。 从变分法引伸而来，求解容许控制问题的得 力工具。

g x(t ), u(t ), t 0

中国科学技术大学

系统描述 (t ) f x(t ), u(t ), t 状态方程 x

x(t ) R n

u(t ) R r

初始条件 终端约束 控制约束

x(t0 ) x0N x(t f ), t f 0

m维连续可微的矢量函数 m nk 维连续可微的矢量函数

g x(t ), u(t ), t 0tf

k r

性能泛函 J x(t f ), t f L x(t ), u(t ), t dtt0

, L维连续可微的标量函数

t f 待定，求最优容许控制u*(t),使性能泛函极小

中国科学技术大学

引入新的r维控制变量w(t),令 (t ) u(t ), w(t0 ) 0 w

则u(t)不连续时，w(t)连续；u(t)分段连续，w(t)分段

§4极值原理与最大模估计

4．1弱极值原理

从物理上看,如果物体内部没有“热源”,则在整个热传导的过程中,温度总是趋于平衡,温度最高处热量向其它地方扩散,温度最低处的温度趋于上升,因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到.如果物体的边界温度及初始温度都不超过某值M,而且物体内部没有热源,则这物体内就不可能产生大于M的温度.物理上这种现象的数学描述就是所谓“极值原理”.

记Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T},Q的侧边与底边统称为Q的抛物边界,记为?或

(x,t):x??,t?0?,Q?{(x,t)|0?x?l,0?t?T}, ?pQ,?????(0,T)??C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},

C(Q)?{u?u(x,t)|u(x,t)是Q上的连续函数},

1C2，(Q)?{u|u,ut,ux,uxx?C(Q)},

我们将考虑热传导方程

Lu?ut?a2uxx?f(x,t), （4.1）

从第一节我们知道,如果f(x,t)?0,则称杆内有热源；如果f(x,t)?0,则表示杆内有冷源,或称为热汇.

定理4.1（弱极值原理）设u

http://www.2002china.com

目录

1.

路由协议.............................................................................................................................................................. 3 1.1. 1.2. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.3. 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 1.3.6. 1.3.7. 1.3.8. 1.3.9. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.7.1. 1.7.2. 1.7.3. 1.7.4. 1.7.5. 1.7.6. 1.7.7. 1.7.8. 1.7.9. 1.7.10. 1.7.11. 2.

静态的与动态的内部路由 ...........................................................................................