向量积的几何意义证明

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:1.向量加法三角形法则特点：首尾相接C

a bA

b

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B a b b

b

a

B

O

a

A

a b

3.向量减法三角形法则

b

B

O

a

A

BA a b

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

实际背景向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示，试画出该向量,看看它们有何关系？

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应

a

3a

( a) ( a) ( a) , 你能说明它们的几何意义吗？

思考：已知非零向量 a , 作出 a a a a a a a

和

记作 3 a O C B A OC OA AB BC a a a

记作 -3a P Q M N PN PQ QM MN ( a )( a )( a )

a

a a

一.向量数乘的

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

复习回顾:1.向量加法三角形法则特点：首尾相接C

a bA

b

2.向量加法平行四边形 法则 特点:共起点 a C B a b b

b

a

B

O

a

A

a b

3.向量减法三角形法则

b

B

O

a

A

BA a b

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

实际背景向量a , 那么在同方向上3秒的位移对应的向量用3a 表示，试画出该向量,看看它们有何关系？

一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应

a

3a

( a) ( a) ( a) , 你能说明它们的几何意义吗？

思考：已知非零向量 a , 作出 a a a a a a a

和

记作 3 a O C B A OC OA AB BC a a a

记作 -3a P Q M N PN PQ QM MN ( a )( a )( a )

a

a a

一.向量数乘的

《向量的加法运算及其几何意义》教学反思

向量的加法是学习向量其他运算的基础，它在实际生活、生产中有广泛的应用，而且学生在高一物理中已学过矢量的合成（物理学中的矢量相当于数学中的向量），这为学生学习向量知识提供了实际背景。

本节课在教学设计充分体现了 “教师为主导,学生为主体”的教学原则,在教学过程中力求体现三个特色:(1)以问题为教学线索;问题是数学的心脏,本课教学如终以问题的解决为线索,在老师的引导下,使学生的思维从问题开始由问题深化.(2)以学生为课堂主体,重视学生的自主参与能力,重视学生探究能力和创新能力的培养,激励学生积极思维,大胆思考,动手实践;(3)以类比为教学方法,在学生原有的知识体系上,通过类比一步步引导学生从物理学中矢量的合成向向量加法运算过程发现两者之间的内在联系,并通过数的加法运算律类比猜想向量加法的运算律。

数学教学不只是关心学习者“知道了什么”，而应是更多地关注学习者“怎么样知道的”。因此，在教学中注意引导学生主动参与，自主探究问题，并加强合作交流。在实际课堂中，学生的学习热情和潜能被极大地激发起来，充满生机的课堂交流，围绕数学问题的思维碰撞，无不是学生学习主动性、能动性和创造性的表现，让我看到了在教育教学活动中，真

2.2.1向量加法运算及其几何意义 班级_________姓名________

1．在四边形ABCD中，AC?AB?AD，则四边形ABCD是 ( )

A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2．向量(AB?MB)?(BO?BC)?OM化简后等于 ( ) A．BC B．A．a?0?aAB C．AC D．AM

D．AC=DC+AB+BD

3．下列等式不正确的是 ( )

B．a?b?b?a C．AB+BA?04.已知ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是（ ）

A、AB?BC?CA B、AB?AC?BC C、AC?BA?ADD、AC?AD?DC

5．给出下列命题:①平行四边形ABCD中,必有AB=DC;②若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形;③OA?AC?AO?CO=0;④AB?CA?BD?DC=0.不正确的命题的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4

《向量数乘运算及其几何意义》教学反思

向量数乘运算与向量的加法、向量的减法都属于向量的线性运算，所以是向量运算的基础。因而，本节课内容看着简单，但是其重要性不容忽视。因此，对于“向量数乘运算及其几何意义”这节课的教学内容，进行了以下安排：

本节课由三个问题展开相应的探究，借助不同的思考问题，通过发挥学生的小组合作性，进而突破本节课的教学重点和教学难点：

问题1：已知非零向量a，作出图形：①a+a+a；②-a+(-a)+(-a). 小组讨论下列思考题：

思考1：通过作出的图形，能否说出它们的几何意义？ 思考2：实数与向量能否进行加减运算？实数与向量相乘结果是实数还是向量？

思考3：λa与向量a的大小和方向有什么关系？ 思考4：λa=0的条件是什么？

问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 问题思考：实数运算中去括号、移项、合并同类项、提公因式等变形手段在数与向量的乘积中仍适用吗？

问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？

小组讨论下列思考题：

思考5：在向量共线的条件中，若向量a=向量0，则该定理

篇一：导数几何意义

1.1.3导数的几何意义

教材分析

本节内容选自数学人教A版选修2-2第1章“导数及其应用”第1.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法. 教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用，形成完整的概念，有利于学生对知识的理解和掌握. 通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具. 课时分配

本节内容用1课时完成，主要讲解导数的几何意义，让学生知道函数在某一点处的导数就是在这一点处切线的斜率，为求函数在某点处的切线方程提供条件. 教学目标

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义，体会数形结合、以直代曲的思想方法. 难点：对导数几何意义的理解，在某点处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解． 知识点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.

能力点：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线方程的方法.

教育点：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细

致思

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

1.相反向量

2．向量的减法

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(

)

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )

(3)

向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( )

(4)相反向量是共线向量．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．做一做

(1)非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( )

A ．m ＝n

B ．m ＝－n

C ．|m |＝|n |

D ．方向相反

答案 A

解析 相反向量是模相等、方向相反的向量，故B ，C ，D 都正确．

(2)(教材改编P 87T 2)OB →－OA →＋BA →

＝________.

答案 0

解析 OB →－OA →＋BA →＝AB →＋BA →

＝0.

(3)四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →

|＝________. 答案 2

解析 AB →－AD →＝DB →

，

∵|AB →|＝|AD →|＝1，∴|BD →|＝2，

∴|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 2.

探究1 向量的减法运算

例1 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)；

(2)(AC →＋

2．2.2 向量减法运算及其几何意义

1.相反向量

2．向量的减法

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．(

)

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )

(3)

向量a 与向量b 的差与向量b 与向量a 的差互为相反向量．( )

(4)相反向量是共线向量．( )

答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√

2．做一做

(1)非零向量m 与n 是相反向量，下列不正确的是( )

A ．m ＝n

B ．m ＝－n

C ．|m |＝|n |

D ．方向相反

答案 A

解析 相反向量是模相等、方向相反的向量，故B ，C ，D 都正确．

(2)(教材改编P 87T 2)OB →－OA →＋BA →

＝________.

答案 0

解析 OB →－OA →＋BA →＝AB →＋BA →

＝0.

(3)四边形ABCD 是边长为1的正方形，则|AB →－AD →

|＝________. 答案 2

解析 AB →－AD →＝DB →

，

∵|AB →|＝|AD →|＝1，∴|BD →|＝2，

∴|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 2.

探究1 向量的减法运算

例1 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →

)；

(2)(AC →＋

复数的几何意义教案

3.1.3 复数的几何意义

1．复数的几何意义

(1)复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，x轴叫做实轴 ，y轴叫做 虚轴 ．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

(2)复数与点、向量间的对应

①复数z＝a＋bi(a，b∈R)

复平面内的点 Z(a，b) ；

→

平面向量____OZ＝(a，b)_____． ②复数z＝a＋bi(a，b∈R)

2．复数的模

→→

22复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为OZ，则OZ的模叫做复数z的模，记作|z|，且|z|＝_a＋b_____.

3．共轭复数

当两个复数实部 相等 ，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用z表示，即z＝a＋bi，那么z＝a－bi ，当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有__ z＝z__，也就是说，任一实数的共轭复数仍是 它本身 .

小结 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

问题2 怎样定义复数z的模？它有什么意义？

→

答 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量

新课导入实数的几何意义？在几何 上，我们用 什么来表示 实数?

实数可以用数轴 上的点来表示.

实数 一一对应 数轴上的点 (数 ) (形 )

类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？

回 忆

… 复数的 一般形 式？

Z=a+bi(a, b∈R)实部 虚部

一个复数 由什么确 定？

3.1.2y b y

z=a+bi Z(a,b)b

z=a+bi Z(a,b)

o

a

x

o

a

x

教学重难点重点 对复数几何意义的理解以及复数的向 量表示.

难点 由于理解复数是一对有序实数不习惯，对 于复数几何意义理解有一定困难.

对于复数向量表示的掌握有一定困难.

探究

复数的实质是什么？

任何一个复数z=a+bi,都可以由一个 有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数 对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对 应，因此复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应.

可用下图表示出他们彼此的关系. 有序实数对(a,b)

复数z=a+bi

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

那么现在复数z=a+bi可以在平面直 角坐标系中表示出来，如图所示： y

z=a+bib

Z(a,b)

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)x

o

a

x轴------实轴 y轴----