圆锥曲线的向量形式

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程

圆锥曲线

一.向量与圆锥曲线: AP??PB型;PA??1PQ,PB??2PQ型;OM??OA??OB型.

x2?11??y2?1上的两点,并且点N(?2,0)满足NA??NB,当???,?时,求例1.已知A,B是椭圆2?53?直线AB斜率的取值范围.

例2.已知抛物线C:y?4x,过抛物线的焦点F的直线交C于A,B两点,交准线l于点M,已知

2MA??1AF,MB??2BF,求?1??2.

例3.已知椭圆x?3y?3b,斜率为1且过右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,M为椭圆上任一点,且OM??OA??OB, 求???.

方法总结:

22222?x1?x2?(1??)x2(1)若能得到x1??x2, 则构造出两根之和与两根之积得?消去得2?x1x2??x2(x1?x2)2(1??)2,再利用韦达定理应用; ?x1x2?(2)若PA??1PQ,PB??2PQ,则可以用A,B的横坐标x1,x2或纵坐标y1,y2来表示?1和?2,当

?1和?2满足一定的关系时,进一步用韦达定理作整体代换;

(3)直线与圆锥曲线相交于A,B两点,若点M满足OM??OA??OB,用A,B两点的坐标来表示M,如果M在曲线上,则将M的坐标表达式代入曲线方程

圆锥曲线与平面向量

考纲透析

考试大纲：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的概念，向量的坐标运算.

[来源:学科网ZXXK]圆锥曲线与平面向量的综合. 新题型分类例析

来源:[Zxxk.Com]1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为(3,0) （1）求双曲线C的方程； （2）若直线l:y?kx?且OA?OB?2（其 2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，

中O为原点）. 求k的取值范围.

xa22解：（Ⅰ）设双曲线方程为?yb22?1 (a?0,b?0).

由已知得a?3,c?2,再由a?b22?2,得b22?1.

故双曲线C的方程为

x23?y2?1.

（Ⅱ）将y?kx?2代入x23?y2?1得 (1?3k)x?62kx?9?0.

222??1?3k?0,由直线l与双曲线交于不同的两点得?

222????(62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.2即k?13且k2?1. ① 设A(xA,yA),B(xB,yB)，则

xA?xB?62k1?3k2,xAxB??91?3k2,由OA?OB?2得xAxB?yAyB?2,

2而xAxB?yAyB?xAxB

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

§14.4 圆锥曲线的应用

预备知识

直线的相关知识

圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等

重 点

难 点

学习要求

直线与圆锥曲线的相交 圆锥曲线的相交 平面曲线与圆锥曲线相交问题的解决办法

发现实际问题中圆锥曲线的应用，并能用圆锥曲线的知识予以解决

能解决有关平面曲线与圆锥曲线关系的简单问题 注意利用图形分析问题并将“形”与“数”结合起来

了解圆锥曲线在实际问题中的应用，并能解决其在实际中的

简单应用问题

能综合运用数学知识，将实际问题转化为数学问题

62

圆锥曲线在数学、天文、光学、建筑以及实际生活的各个领域，有非常广泛的应用．本节将对这些应用作一个初步的介绍，范围涉及直线和圆锥曲线的综合问题及一些简单的实际应用．

1. 直线和圆锥曲线相交问题

x2y2例1 如图14-15，椭圆??1的焦点分别是F1和F2，过中心O作

4520直线与椭圆相交于A、B两点，若?ABF2的面积是20，求直线AB的

高考数学练习题---文科圆锥曲线

一、选择题

x2y21.【2012高考新课标文4】设F1F2是椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，P为直

ab线x?

3a上一点，?F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（ ） 212??(A) (B) (C) (D)

23??【答案】C

【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.

0【解析】∵△F2PF1是底角为30的等腰三角形， ∴?PF2A?600，|PF2|?|F1F2|?2c，∴|AF2|=c，∴2c?33a，∴e=，故选C. 242.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线

y2?16x的准线交于A,B两点，AB?43；则C的实轴长为（ ）

(A)2 (B) 22 (C)? (D)?

【答案】C

【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：x?4，设等轴双曲线方程为：x?y?a，将x?4代入等轴双曲线方程解得y=?16?a2，∵

圆锥曲线中的重要性质经典精讲上

性质一：椭圆中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以原焦点为顶点的椭圆

双曲线中焦点三角形的内切圆圆心轨迹是以过原顶点的两平行开线段(长为2b)

x2y2??1上，F1,F2为椭圆之左右焦点，点G为△F1PF2内心，试1．已知动点P在椭圆43求点G的轨迹方程.

x2y2??1上，F1,F2为双曲线之左右焦点，圆G是△F1PF2的内2．已知动点P在双曲线

43切圆，探究圆G是否过定点，并证明之.

性质二：圆锥曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为定值。

椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

112?? |AF1||BF1|ep双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB在同支时

112112?? AB在异支时|?|? |AF1||BF1|ep|AF1||BF1|ep112?? |AF||BF|ep抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数

x2y2??1，F为椭圆之左焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点，是否存在 3.已知椭圆43实常数?，使AB??FA?FB恒成立.并由此求∣AB∣的最小值.

1

性质三：圆锥曲线相互垂直的焦点弦长倒数之和为常数

112?e2椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ??|AB||

个性化教学辅导教案

南京学大教育专修学校城西校区教学设计方案 a2 x=± c a2 y=± c

准线方程

3.设 Μ 是椭圆上任一点，点 Μ 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 Μ 到 F2 对应准线 的距离为 d 2 ,则三.典型例题

Μ F1 Μ F2 = = e. d1 d2四. 巩固练习 五. 课堂小结

课堂 检测 课后 巩固 签字 老师 课后 赏识 评价

基础知识掌握了， 听课及知识掌握情况反馈 基础知识掌握了，但运用还有些欠缺 测试题( 分钟) 测试题(累计不超过 20 分钟) 8 道 成绩 70 教学需： 加快□ 保持√ 放慢□ 增加内容□ 教学需： 加快□ 保持√ 放慢□ 增加内容□ 作业 10 题 巩固复习 椭圆 预习布置 双曲线 学管师： 学管师：蔡金婷

年级组长： 年级组长：闵祥鹏 老师最欣赏的地方： 老师最欣赏的地方 学生认真的学习态度 老师想知道的事情： 老师想知道的事情 学习中还有哪些疑问 老师的建议： 老师的建议 对典型的例题和错题要注意整理

个性化教学辅导教案

南京学大教育专修学校城西校区教学设计方案 3.设 Μ 是双曲线上任一点，点 Μ 到 F1 对应准线的距离为 d1 ,点 Μ 到 F2 对应准线的

每天一有时间就写，吃饭的时候就边吃边看高考题，这种疯狂为一件事而努力的感觉真的很好！

今天先发辅导书开头部分的一小节，只是其中的一点点内容，不过其他部分也都是这种形式，其他的就不发了，主要是让大家看下这种形式好不好。

这本辅导书不是一个练习册，而是高中数学解题指导，我个人认为可以将其作为一个“字典”，里面涵盖了绝大部分常见题目的解决办法。

普通的辅导书对于题目只是枯燥套话性质的分析，但这本书的分析（也就是【黑夜语】以及答案解析中穿插的评论）却是我一个字一个字的心血，比如说答案是这么做的，那为什么想到这么做？别的辅导书没有讲，而我重点讲为什么这么做！

由于题量太大的话意义也不大，所以决定只选用10、11年高考题目，对于核心考点（比如圆锥曲线、数列等解答题），会选90%以上的题目，也就是说近两年基本所有该类高考题都会选中（除非某道题意义实在不大才不选），对于不是特别核心的知识，就会选40%-60%左右的题目。里面会著名是哪年哪地的考题，并且题号不变，这样大家可以根据其题号来大致明白此题的难度。（毕竟最后两道题往往是压轴题，前面的题难度会小一点。）

我有自信，如果能将这本书反复看个七八遍，对于里面的每一种情况都熟练到信手拈来的地步，对于里面的【黑夜