2016清华自主招生数学试题

2006年清华大学自主招生数学试题

1．求最小正整数n，使得I (

2

1123

n

i)为纯虚数，并求出I．

2．已知a、b为非负数，M a4 b4,a b 1，求M的最值．

sin 、cos 为等差数列，sin 、sin 、cos 为等比数列，求3．已知sin 、

cos2

12cos2

的值．

4．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．

5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．y x上一点P(非原点)，在P 处引切线交x、y轴于Q、R，求

2

PQPR

．

7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(a b) af(b) bf(a)，且f(x) 1，求证f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x) 0,f(x) M，M为一常数，那么

x

lim(f(x) g(x)) 0)

x

8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．

2006年清华大学自主招生数学试题解答

1解答：

，

362

而纯虚数的幅角为k ，因此

2I的幅角 为arctg

n=3, I (

2

1)

3

9

2解答：

a b (a b) 2ab ((a b) 2ab) 2ab令t ab

4

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(1)

近年北大清华自主招生试题汇编

———————————————————————————————— 2010北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）0????2，求证：sin????tan?．（25分）

5?122．AB为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB最长为．（25分）

3．AB为y?1?x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA与OB已知夹角，OA?1，OB?2，OP?(1?t)OA，OQ?tOB，0≤t≤1．PQ在t0时取得最小值，问当0?t0?5．（仅理科做）存不存在0?x?

2009北大自主招生数学试题

15?2时，夹角的取值范围．（25分）

，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分）

1 圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。

2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。 3 是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？

4 已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值

5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下

2016年清华大学自主招生暨领军计划试题

1．已知函数f(x)?(x2?a)ex有最小值，则函数g(x)?x2?2x?a的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．取决于a的值 【答案】C

【解析】注意f/(x)?exg(x)，答案C．

2． 已知?ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．下列条件中，能使得?ABC的形状唯一确定的有（ ）

A．a?1,b?2,c?Z

B．A?1500,asinA?csinC2asinC?bsinB C．cosAsinBcosC?cos(B?C)cosBsinC?0,C?60 D．a?3,b?1,A?600 【答案】AD．

03．已知函数f(x)?x?1,g(x)?lnx，下列说法中正确的有（ ） A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线

B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行 C．f(x),g(x)有且只有一个交点 D．f(x),g(x)有且只有两个交点

2开心快乐每一天

【答案】BD

【解析】注意到y?x?1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案BD．

4．过抛物线y2?4x

2018-2019学年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分．温馨提示：多少汗水曾洒下，金榜题名，高考必胜!蝉鸣声里勾起高考记忆三年的生活，每天睡眠不足六个小时，十二节四十五分钟的课加上早晚自习，每天可以用完一支中性笔，在无数杯速溶咖啡的刺激下，依然活蹦乱跳，当我穿过昏暗的清晨走向教学楼时，我看到了远方地平线上渐渐升起的黎明充满自信，相信自己很多考生失利不是输在知识技能上而是败在信心上，觉得自己不行。临近考试前可以设置完成一些小目标，比如说今天走1万步等，考试之前给自己打气，告诉自己“我一定行”! 多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。

1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

2．求过抛物线y?2x2?2x?1和y??5x2?2x?3的交点的直线方程．

3．在等差数列{an}中，a

2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分． 1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

22．求过抛物线y?2x?2x?1和y??5x?2x?3的交点的直线方程．

2

3．在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？

4．在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600．

5．是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

6．C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由．

7．求f(x)?x?1?2x?1?........?2011x?1的最小值．

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2011年综合性大学（北约13校）自主选拔录取联合考试

数学试题

请注意：文科考生做1至5题，理科考生做3至7题．每题20分，共100分． 1．已知平行四边形的其中两条边长为3和5，一条对角线长为6，求另一条对角线长．

22．求过抛物线y?2x?2x?1和y??5x?2x?3的交点的直线方程．

2

3．在等差数列{an}中，a3??13,a7?3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何？

4．在?ABC中，a?b?2c，求证：?C?600．

5．是否存在四个正实数，使得他们的两两乘积为2，3，5，6，10，16？

6．C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由．

7．求f(x)?x?1?2x?1?........?2011x?1的最小值．

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2018届清华大学自主招生数学试题

2018年11月28日

1．求最小正整数n，使得I?(?12123i)n为纯虚数，并求出I．

2．已知a、b为非负数，M?a4?b4,a?b?1，求M的最值． 3．已知

sin?、cos?sin?、sin?、cos?为等差数列，sin?、为等比数列，求

1cos2?的值． 24．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积． cos2??5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．

y?x2上一点P(非原点)，在P 处引切线交x、y轴于Q、R，求

PQPR．

7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(a?b)?af(b)?bf(a)，且f(x)?1，求证f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x)?0,f(x)?M，M为一常数，那么lim(f(x)?g(x))?0)

x??x??8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．

2015年清华大学领军计划自主招生数学试题

说明：本试卷共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。选不选对，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分。

112?2??? （ ），则 ?isin1?z1?z23313 A.0 B.1 C. D.

222.设{an}为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p?q?k?l”是“ap?aq?ak?al”的（ ）

1.设复数z?cosA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设A,B是抛物线y?x上的两点，O是坐标原点，若OA?OB，则 （ ） A.|OA|?|OB|?2 B.|OA|?|OB|?22

C.直线AB过抛物线y?x的焦点 D.O到直线AB的距离小于等于1 4.设函数f(x)的定义域为(?1,

2009年名牌大学自主招生考试试题(1)

2009年浙江大学自主招生考试

数学试卷

1 1、 （本小题满分20分）已知a≥，设二次函数f?x???a2x2?ax?c，其中a,c均

23为实数．证明：对于任意x??0,1?，均有f?x?≤1成立的充要条件是c≤．

41 2、 （本小题满分20分）数列?an?满足条件：a1?1，an?1?（n≥2）．试证明：

an?1（I）1≤an≤2，n?N?；

a?an11≤，n≥2且n?N?． （II）≤n?13an?an?12 3、 （本小题满分20分）现有如下两个命题：

命题p：函数f?x??x3?ax2?ax?a既有最大值，又有最小值． 命题q：直线3x?4y?2?0与曲线x2?2ax?y2?a2?1?0有公共点． 若命题“p或q”为真，且命题“p且q”为假，试求a的取值范围．

4、 （本小题满分20分） 现有由数字1,2,3,4,5排列而成的一个五位数组（没有重

复数字）．规定：前i个数不允许是1,2,,i的一个排列?1≤i≤4? （如32154就

不可以，因为前三个数是1,2,3的一个排列）．试求满足这种条件的数组共有多少个?

x2y2 5、 （本小题满分20分）双曲线2?2?1

2015复旦附中自主招生数学试题A

1．实数x、y、z满足2x?6?y?1?yx?4?x2?z2?2?2xz，则x+y-z=_____．

2．若1001的分子、分母同时加上正整数n时，该分数称为整数，这样的正整数n共有__个．

33．已知a2=7-3a，b2=7-3b，且a≠b，则b?a?______．

22ab4．设P是奇质数，则方程2xy=p(x+y)满足x

1?2?1?25．方程x???x????1??的解为____________．

x??x??116．如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B

点同时出发按逆时针方向移动，甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒， 乙经过_____秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．

AB 甲7．已知△ABC是等边三角形，动点Ｐ、Ｑ、Ｒ分别同时从顶点Ａ、Ｂ、Ｃ出发，沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P、Q、R经过△ABC的一边所用时间分别为1秒、2秒、3秒．从运动开始起，在1秒内，经过_____秒△PQR的面积取到最小值．

8．二次函数f(x)的图像开口向上，与x轴交于A、B两点，与y轴交与点C，以D为顶点，若三角形ABC的外接圆与y轴相切，且∠D