圆上动点问题 线段最小和最大

初中数学专题复习：最短距离问题分析

最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：

Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函

数的最大或最小值

Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，

大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大

都应用这一模型。

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”

B 几何模型：

A 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA?PB的值最小． l

P 方法：作点A关于直线l的对称点A?，连结A?B交l于点P，

则PA?PB?A?B的值最小（不必证明）．

A?模型应用：

①当两点A和B在直线l同侧时，若求直线l上点P.使PA+PB最小值 作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点P,此时PA+PB=PA+PB’=AB’

取除此之外的任意一点P’,根据三角形两边之和大于第三边，P’A+P’B=P’A+P’B’ ＞AB’,所以点P满足PA+PB最小值

②当两点A和B在直线l异侧时，作直线AB与直线l的交点为点P ③当两点A和B在直线l同侧时，作直线AB与直线l的交点为点M 此时|AM-BM|是最大值

取除此之外的任意一点N,根据三角形两边之差小于第三边，|NA-NB|﹤AB,而|MA-MB|=AB,所以这时|AM-BM|是最大值

④当两点A和B在直线l异侧时，作点B关于直线l的对称点B’,连结AB’交直线l于点M,此时, |AM-BM|是最大值

送你几道题

（2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平

面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PA?PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OP?OQ＝ ▲ ．

【答案】5。

【考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】连接A

七年级数轴与线段动点问题

数轴上的线段与动点问题

1、已知线段AB＝12，CD＝6，线段CD在直线AB上运动，（CA在B的左侧，C在D的左侧）

（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC＝4，求MN。

（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB的延长线上一点，下列两个结论：

1 ○

12、如图，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝，点C对应的数是200。 2

（1）若BC＝300，求A点所对应的数；

A B C

（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运

动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR＝4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）

P A R Q C

200

（3）在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为－800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向

左运动，P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在

3从点D运动到点A QC－AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。 2

E

七年级数轴与线段动点问题

数轴上的线段与动点问题

1、已知线段AB＝12，CD＝6，线段CD在直线AB上运动，（CA在B的左侧，C在D的左侧）

（1）M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC＝4，求MN。

（2）当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB的延长线上一点，下列两个结论：

1 ○

12、如图，已知数轴上有三点A、B、C，AB＝，点C对应的数是200。 2

（1）若BC＝300，求A点所对应的数；

A B C

（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运

动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR＝4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）

P A R Q C

200

（3）在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为－800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向

左运动，P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在

3从点D运动到点A QC－AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。 2

E

以圆为载体的动点问题

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质

1．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y＝x＋b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，联结OD． （1）求b的值和点D的坐标；

（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

2．如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4），动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒． （1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；

1

（2）以点C为圆心、t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B

2

的左侧），连接PA、PB．

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y?

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴m相交于点B、C，与y 轴相交于点E，且点B 在点C 的左侧. (1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m 的值． (2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标． (4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

2. （2012湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:y?

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC法可知△APC的面积的最大值

动点问题（与圆相关）

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥AO，顶点O在坐标原点，顶点A（4，0），顶点B（1，4）．动点P从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时，PB与AQ互相平分？

（2）设△PAQ的面积为S，求S与t的函数关系式．当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以PQ为直径的圆与y轴相切？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

y

C B

Q

O P A x

y C B O A x 备用图 1

y C B O A x 备用图 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个单位的速度向点B运动，动点N沿BC →CD边以每秒 为t（s）．

（1）当t为何值时，MN∥BC ？

（2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证：点

抛物线中两线段和最小问题（及差最大问题）（已整理A4）

1. （2012湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

1，（2012湖北恩施8分）

【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x+2x+3），求得线段PQ=﹣x+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S?APC法可知△APC的面积的最大值