多元统计分析第二章课后答案

2.1试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。

设，是p维随机向量，称由它的q (

量组成的子向量的分布为的边缘分布，相对

地把的分布称为联合分布。

当的分布函数为F ，

时，的分布函数即边缘分布函数为F ，

=P(

) :

=F

当X有分布密度f ()则也有分布密度，即边缘密度

函数为：f( ,)=( ， )

2.2设随机向量服从二元正态分布，写出其联合分布密

度函数和各自的边缘密度函数。

联合分布密度函数

0 ,其他

------ ----------- ----------- = --------------- -------- (

) --------

所以指数部分变为 - ----------------------------------

令t=——————

2 (1) 随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。 同理,

■be b 1 3 +b

Eg )= J x/iW )=〕Xi ? -------------- dxi = -------- 皿 3 b_a 2

同理可得

E x 2 =

exp[

^^exp[

,其他

同理,

^^exp[

,其他

2.3已知随机向量 的联合分布密度函数为

,其中,

。求:

,2 - —. . (a — b )

D“)= J" —

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应用多元统计分析课后答案

第五章 聚类分析

5.1 判别分析和聚类分析有何区别？

答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n个样本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。

5.2 试述系统聚类的基本思想。

答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？

答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n个样本看作p维空间的n个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：dij(q)

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应用多元统计分析课后答案

第五章 聚类分析

5.1 判别分析和聚类分析有何区别？

答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n个样本，对每个样本测得p项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。

5.2 试述系统聚类的基本思想。

答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 5.3 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么？简要说明为什么这样构造？

答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n个样本看作p维空间的n个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：dij(q)

练习二 多元正态分布的参数估计

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，

X (X1,X2, Xp) 的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X (X1,X2, Xp) 的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

2.2设二维随机向量(X1X2) 服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设(X1X2) 的均值向量为μ 1

联合分布密度函数为

12

f(x) 2

21 2

2

21

1/2

1

12 12 1 exp (x μ) (x μ) 。 2 2 21 2

2

12 1 ，则其 2 ，协方差矩阵为 2 212

2.3已知随机向量(X1X2) 的联合密度函数为

f(x1,x2)

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

22

(b a)(d c)

其中a x1 b，c x2 d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

fx1(x1)

dc

多元统计分析

现实中的统计对象经常用多个指标来表示，比如人口普查，就可以有姓名、性别、出生年月日、籍贯、婚姻状况、民族、政治面貌、地区等，企业调查，可以有净资产、负债、盈利、职工人数、还贷情况等等。多个指标（变量）可以分别进行分析，但是，我们往往希望综合使用这些指标，这时，有主成分分析、因子分析等方法可以把数据的维数降低，同时又尽量不损失数据中的信息。 一、主成分分析

1、主成分分析的原理

多变量的主成分分析是在不损失或很少损失原有信息(指方差)的前提下，将原来多个彼此相关的指标转换为新的少数几个彼此独立的综合指标的一种统计分析方法。

多变量的主成分分析在教育评估中可用以寻找反映或影响评估对象的综合指标。如描述教师能力的指标很多：对教育对象的控制能力，对教育影响的控制能力，表达能力、教学思维能力、创新能力、组织协调能力等等。这些评估教师能力的指标个数可能很多，且指标之间彼此相关，多变量的主成分分析就是要综合这些指标，从而找出反映教师能力的少数几个彼此独立的指标，以便综合出教师能力的重要信息。

主成分分析的目的是从原始的多个变量取若干线性组合，能尽可能多地保留原始变量中

?的信息。从原始变量到新变量是一个正交变换（坐标变换）。设有

多元统计分析 multivariate statistical analysis 研究客观事物中多个变量（或多个因素）之间相互依赖的统计规律性。它的重要基础之一是多元正态分析。又称多元分析 。 如果每个个体有多个观测数据，或者从数学上说， 如果个体的观测数据能表为 P维欧几里得空间的点，那么这样的数据叫做多元数据，而分析多元数据的统计方法就叫做多元统计分析 。 它是数理统计学中的一个重要的分支学科。20世纪30年代，R.A.费希尔，H.霍特林，许宝?以及S.N.罗伊等人作出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到迅速发展。50年代中期，随着电子计算机的发展和普及 ，多元统计分析在地质 、气象、生物、医学、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用 ，同时也促进了理论的发展。各种统计软件包如SAS，SPSS等，使实际工作者利用多元统计分析方法解决实际问题更简单方便。重要的多元统计分析方法有：多重回归分析（简称回归分析）、判别分析、聚类分析、主成分分析、对应分析、因子分析、典型相关分析、多元方差分析等。 早在19世纪就出现了处理二维正态总体（见正态分布）的一些方法，但系统地处理多维概率分布总体的统计分析问题，则开始于20

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X?(X1,X2,联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X?(X1,X2,概率分布，其概率密度函数的维数小于p。

2.2设二维随机向量(X1解：设(X1Xp)?的

Xp)?的子向量的

X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。

2???12?1?2??，协方差矩阵为?，则其联2???21?2?X2)?的均值向量为μ???1合分布密度函数为

2?1???1?12?f(x)????2??2????21?2?2?1/2?12?????1?12?1?exp??(x?μ)??(x?μ)?。 2?2???212?????

2.3已知随机向量(X1X2)?的联合密度函数为

f(x1,x2)?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]

(b?a)2(d?c)2其中a?x1?b，c?x2?d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

wor

《多元统计分析》习题分为三部分：思考题、验证题和论文题

思 考 题

第一章 绪论

1﹑什么是多元统计分析？

2﹑多元统计分析能解决哪些类型的实际问题？

第二章 聚类分析

1﹑简述系统聚类法的基本思路。 2﹑写出样品间相关系数公式。

3﹑常用的距离及相似系数有哪些 ？它们各有什么特点？ 4﹑利用谱系图分类应注意哪些问题？

5﹑在SAS和SPSS中如何实现系统聚类分析？

第三章 判别分析

1﹑简述距离判别法的基本思路，图示其几何意义。 2﹑判别分析与聚类分析有何异同？ 3﹑简述贝叶斯判别的基本思路。 4﹑简述费歇判别的基本思路。 5﹑简述逐步判别法的基本思想。

6﹑在SAS和SPSS软件中如何实现判别分析？

第四章 主成分分析

1﹑主成分分析的几何意义是什么？ 2﹑主成分分析的主要作用有那些？

3﹑什么是贡献率和累计贡献率，其意义何在？

4﹑为什么说贡献率和累计贡献率能反映主成分中所包含的原始变量的信息？

5﹑为什么要用标准化数据去估计V的特征向量与特征值？ 6﹑证明：对于标准化数据有S=R。

7﹑主成分分析在SAS和SPSS中如何实现？

第五章 因子分析

1﹑因子得分模型与主成分分析模型有何不同？

2﹑因子载荷阵的统计意义

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1X?(X1,X2,?Xp)?的联合分布密

X?(X1,X2,?Xp)?的子向量的概率分布，其概率密度

X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。

2???12?1?2??，协方差矩阵为?，则其联合分布密2???21?2?解：设(X1度函数为

X2)?的均值向量为μ???12?1???1?12?f(x)????2??2????21?2?2?1/2?12?????1?12?1?exp??(x?μ)??(x?μ)?。 2?2???212?????2.3已知随机向量(X1X2)?的联合密度函数为

f(x1,x2)?其中a?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]

(b?a)2(d?c)2x1?b，c?x2?d。求

X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； X1和X2的协方差和相关系数；

（1）随机变量（2）随机变量（3）判断

X1和X2是否相互独立。

X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

（1）解：随机变量

dfx1(x1)??

第二章

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X (X1,X2,联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X (X1,X2,概率分布，其概率密度函数的维数小于p。 2.2设二维随机向量(X1

解：设(X1

Xp) 的

Xp) 的子向量的

X2) 服从二元正态分布，写出其联合分布和各边缘分布。

12 12 2 ，协方差矩阵为 ，则其联2 212

X2) 的均值向量为μ 1

合分布密度函数为

12

f(x) 2 212

2.3已知随机向量(X1

2

2

1

1/2

12 1 112

exp (x μ) (x μ) 。 2

2 21 2

X2) 的联合密度函数为

f(x1,x2)

2[(d c)(x1 a) (b a)(x2 c) 2(x1 a)(x2 c)]

22

(b a)(d c)

其中a x1 b，c x2 d。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。

（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；

fx1(x1)

d

c

2[(d c)(x