三角函数与平面向量中的数学思想方法研究报告

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三角函数与平面向量

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期

■

三角函数与平面向量交汇的试题屡见不鲜，颇为流行，呈现方式可大（解答题）可小（填空题和选择题）. 若是小题，一般难度不大，主要考查基本概念和基本公式，是送分题；若是大题，则对基本公式的理解记忆能力、变形能力、运算能力等提出了一定的要求. ■

解答三角函数与平面向量交汇的试题时，一定要熟悉向量的数量积的定义和性质，合理选用向量数量积的运算法则构建相关等式，然后运用与此相关的三角函数知识点进行解题，并要注意方程思想的运用. ■

■ 已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，2■·cosωx），设函数f（x）=a·b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈■，1. （1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若已知y=f（x）的图象经过点■，0，求函数f（x）在区间0，■上的取值范围. 破解思路 先通过向量数量

第一讲 三角函数的图象与性质(选择、填空题型)

一、选择题

1．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)＝( ) 1133A.2 B．－2 C．－2 D.2

3π???πα?5

2．若sin(π－α)＝－3且α∈?π，2?，则sin?2＋2?＝( )

????

6666

A．－3 B．－6 C.6 D.3

π

3．(2014·青岛模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2的部

?ππ?

分图象如图所示，若x1，x2∈?－6，3?，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝

??

( )

123

A．1 B.2 C.2 D.2

π

4．(2014·江西师大附中模拟)为了得到函数y＝3sin2x－6的图象，

π???只需把函数y＝3sinx－6?上的所有的点的( ) ??

A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

1

B．横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变

C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

1

D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变

π??π

5．将函数f(x)＝2sin?ωx－3?(ω>0)的图象向左平移3ω个单位，得

??

π??

到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在?0，4?上为增函

第7讲 平面向量

【导数补充】

1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)?1且对一切x?R都有f/(x)?4，则不等式

f(x)?4x?3的解集为____________

2.已知函数f(x)定义域为R，f(0)?2，对任意x，有f(x)?f?(x)?1，则

exf(x)?ex?1的解为_____________

3.可导函数f(x)定义域R，满足f(x)?xf?(x)?0，则不等式f(x)?2f(x)解集为_____ x

【平面向量】

1.设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a ?b，则x= . 2.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

3.（苏州市2016届高三上期末）已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，且a⊥(a-b)，则实数x=

????2x?2xx)，x?R，若a?b， 4.（常州市2016届高三上期末）a?(4,2),b?(1,x2??则|a?b|＝

5.（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知|OA|?|OB|?2，且

OA?OB?1，若点C满足|OA?CB|?1，则|OC|的取值范围是 ．

6.（南京、盐

第7讲 平面向量

【导数补充】

1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)?1且对一切x?R都有f/(x)?4，则不等式

f(x)?4x?3的解集为____________

2.已知函数f(x)定义域为R，f(0)?2，对任意x，有f(x)?f?(x)?1，则

exf(x)?ex?1的解为_____________

3.可导函数f(x)定义域R，满足f(x)?xf?(x)?0，则不等式f(x)?2f(x)解集为_____ x

【平面向量】

1.设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a ?b，则x= . 2.已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

3.（苏州市2016届高三上期末）已知向量a=(1，2)，b=(x，-2)，且a⊥(a-b)，则实数x=

????2x?2xx)，x?R，若a?b， 4.（常州市2016届高三上期末）a?(4,2),b?(1,x2??则|a?b|＝

5.（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知|OA|?|OB|?2，且

OA?OB?1，若点C满足|OA?CB|?1，则|OC|的取值范围是 ．

6.（南京、盐

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

第七讲 三角函数与平面向量

1、角的定义：

?正角:按逆时针方向旋转形成的角??任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角???零角:不作任何旋转形成的角

2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。

第一象限角的集合为??2k????2k??,k???

?2????第二象限角的集合为??2k?????2k???,k???

?2????第三象限角的集合为??2k??????2k????3??,k??? 2?第四象限角的集合为??2k????3?????2k??2?,k??? 2?终边在x轴上的角的集合为????k?,k??? 终边在y轴上的角的集合为????k??,k???

?2????终边在坐标轴上的角的集合为??????k??,k??? 2?3、与角?终边相同的角的集合为????2k???,k???4、已知?是第几象限角，确定

?*

n???所在象限的方法： ?n先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，

则?原来是第几象限对应的标号即为

?n终边所落在的区域。

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

高一数学练习（平面向量与三角函数）

??→1．已知a?(cos400,sin400),b?(sin200,cos200)，则→a·b＝（ ）

312

C． D． 222

3?

2．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，)，则一定有 （ ）

2

→→A．→a∥b B．→a⊥b C．→a与→b夹角为45° D．|→a|＝|→b|

A．1

B．

π

3．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数?＝（ ）

12

5353A． B． C．－ D．－

2222

→→→

4．设0≤θ≤2π时， OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则|P1P2|的最大值是（ ）

A．2 B．3 C．32 D．23 5．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足 （ ） D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

??6．已知向量a?(cos250,sin250),b?(sin200,cos200)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为（ ）

A．2

B．1

2013级假期辅导讲义 罗荣恒

第七讲 三角函数与平面向量

1、角的定义：

?正角:按逆时针方向旋转形成的角??任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角???零角:不作任何旋转形成的角

2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角。

第一象限角的集合为??2k????2k??,k???

?2????第二象限角的集合为??2k?????2k???,k???

?2????第三象限角的集合为??2k??????2k????3??,k??? 2?第四象限角的集合为??2k????3?????2k??2?,k??? 2?终边在x轴上的角的集合为????k?,k??? 终边在y轴上的角的集合为????k??,k???

?2????终边在坐标轴上的角的集合为??????k??,k??? 2?3、与角?终边相同的角的集合为????2k???,k???4、已知?是第几象限角，确定

?*

n???所在象限的方法： ?n先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，

则?原来是第几象限对应的标号即为

?n终边所落在的区域。

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

高一数学练习（平面向量与三角函数）

??→1．已知a?(cos400,sin400),b?(sin200,cos200)，则→a·b＝（ ）

312

C． D． 222

3?

2．已知→a＝(sinθ，1＋cosθ)，→b＝(1，1－cosθ)，其中θ∈(π，)，则一定有 （ ）

2

→→A．→a∥b B．→a⊥b C．→a与→b夹角为45° D．|→a|＝|→b|

A．1

B．

π

3．已知向量→a＝(6，－4)，→b＝(0，2),→c＝→a＋?→b，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数?＝（ ）

12

5353A． B． C．－ D．－

2222

→→→

4．设0≤θ≤2π时， OP1＝(cosθ，sinθ)，OP2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则|P1P2|的最大值是（ ）

A．2 B．3 C．32 D．23 5．若向量→a＝(cos?,sin?)，→b＝(cos?,sin?)，则→a与→b一定满足 （ ） D．(→a＋→b)⊥(→a－→b)

??6．已知向量a?(cos250,sin250),b?(sin200,cos200)，若t是实数，且→u＝→a＋t→b，则|→u|的最小值为（ ）

A．2

B．1

湘阴县2012届高三第二轮复习教师版 专题二 三角函数与平面向量 编辑：胡三思

专题二 三角函数与平面向量 第1课 三角函数的图像和性质

考点分析 三角函数的图像是三角函数的重要组成部分，是高考的常考内容，通常以客观题的形式出现，

涉及求图像解析式、图像变换等内容，属中低档题。

三角函数的性质是高考考查的重要内容，题型多以选择题、填空题为主，也常出现在解答题中，多与三角恒等式、解三角形、平面向量相联系，难度中等。

基点整合 〖基点问题1〗三角函数的图像变换

例1设函数f(x)?sinxcosx?3cos(??x)cosx(x?R). （1）求f(x)的最小正周期；

??3?（II）若函数y?f(x)的图象按b??,?42??平移后得到函数y?g(x)的图象，

??求y?g(x)在(0,?4]上的最大值。

解：（I）T??332??. ??.（II）g(x)在[0,]上的最大值为g()?4224〖基点问题2〗三角函数的性质

例2下列关系式中正确的是（ C ）

A．sin11?cos10?sin168 B．sin168?sin11?cos10 C．sin11?sin168?cos

湘阴县2012届高三第二轮复习教师版 专题二 三角函数与平面向量 编辑：胡三思

专题二 三角函数与平面向量 第1课 三角函数的图像和性质

考点分析 三角函数的图像是三角函数的重要组成部分，是高考的常考内容，通常以客观题的形式出现，

涉及求图像解析式、图像变换等内容，属中低档题。

三角函数的性质是高考考查的重要内容，题型多以选择题、填空题为主，也常出现在解答题中，多与三角恒等式、解三角形、平面向量相联系，难度中等。

基点整合 〖基点问题1〗三角函数的图像变换

例1设函数f(x)?sinxcosx?3cos(??x)cosx(x?R). （1）求f(x)的最小正周期；

??3?（II）若函数y?f(x)的图象按b??,?42??平移后得到函数y?g(x)的图象，

??求y?g(x)在(0,?4]上的最大值。

解：（I）T??332??. ??.（II）g(x)在[0,]上的最大值为g()?4224〖基点问题2〗三角函数的性质

例2下列关系式中正确的是（ C ）

A．sin11?cos10?sin168 B．sin168?sin11?cos10 C．sin11?sin168?cos