最小二乘法在误差理论中的应用

误差理论综述与最小二乘法讨论

摘要：本文对误差理论和有关数据处理的方法进行综述。并且针对最小二乘法（LS）的创立、发展、思想方法等相关方面进行了研究和总结。同时，将近年发展起来的全面最小二乘法(TLS)同传统最小二乘法进行了对比。

1. 误差的有关概念

对科学而言，各种物理量都需要经过测量才能得出结果。许多物理量的发现，物理常数的确定，都是通过精密测量得到的。任何测试结果，都含有误差，因此，必须研究，估计和判断测量结果是否可靠，给出正确评定。对测量结果的分析、研究、判断，必须采用误差理论，它是我们客观分析的有力工具

1.1测量基本概念

一个物理量的测量值应由数值和单位两部分组成。按实验数据处理的方式，测量可分为直接测量、间接测量和组合测量。

直接测量:可以用测量仪表直接读出测量值的测量。

间接测量:有些物理量无法直接测得，需要依据待测物理量与若干直接测量量的函数关系求出。

组合测量:如有若干个待求量，把这些待求量用不同方法组合起来进行测量，并把测量结果与待求量之间的函数关系列成方程组，用最小二乘法求出这个待求量的数值，即为组合测量。

1.2误差基本概念

误差是评定测量精度的尺度，误差越小表示精度越高。若某物理量的测量值为y，真值为Y，

最小二乘法及其应用

1． 引言

最小二乘法在19世纪初发明后,很快得到欧洲一些国家的天文学家和测地学家的广泛关注。据不完全统计,自1805年至1864年的60年间,有关最小二乘法的研究论文达256篇,一些百科全书包括1837年出版的大不列颠百科全书第7版,亦收入有关方法的介绍。同时,误差的分布是“正态”的,也立刻得到天文学家的关注及大量经验的支持。如贝塞尔( F. W. Bessel, 1784—1846)对几百颗星球作了三组观测,并比较了按照正态规律在给定范围内的理论误差值和实际值,对比表明它们非常接近一致。拉普拉斯在1810年也给出了正态规律的一个新的理论推导并写入其《分析概论》中。正态分布作为一种统计模型,在19世纪极为流行,一些学者甚至把19世纪的数理统计学称为正态分布的统治时代。在其影响下,最小二乘法也脱出测量数据意义之外而发展成为一个包罗极大,应用及其广泛的统计模型。到20世纪正态小样本理论充分发展后,高斯研究成果的影响更加显著。最小二乘法不仅是19世纪最重要的统计方法,而且还可以称为数理统计学之灵魂。相关回归分析、方差分析和线性模型理论等数理统计学的几大分支都以最小二乘法为理论基础。正如美国统计学家斯蒂格勒( S. M. Sti

计量经济学期刊文献,适用于初级计量经济学习者。

第

月年卷第期

沈阳航空工业学院学报

万

二

吻

最小二乘法在计量经济模型中的应用张金力沈阳大学经济学院

陈广伏辽宁省工商行政干部学校

摘

要

本文从古典计量经济模型的建立谈起,

,

又从异方差模型、

、

自相关模型和联立

方程模型中关键词

论述了由最小二乘法派生出的加权最小二乘法。,

广义最小二乘法和间接

最小二乘法等

最小二乘法

计量经济模型

,

随机扰动项

引

言最先于。,

最小二乘法是法国大数学家处理一类从天文学和测地学中提出的数据分析问题最小二乘法之于数理统计学的几个分支如二乘法的应用相关分析、

年发表的

。

其动机是为统计学应用

有如微积分之于数学、

,

这并非夸张之辞,,

。

回归分析

方差分析和线性模型理论等

其关键都在于最小作为其进一步发展

不少现代的统计学研究是在此法的基础上衍生出来,

或纠正其不足之处而采取的对策法等就是最好的例子。

如回归分析中一系列修正最小二乘法而产生的估计方

最小二乘法的思想最小二乘法的基本思想是使误差平方和达到最小平衡,,

在各方程的误差之间建立了一种,

从而防止了某一极端误差。

,

对决定参数的估计值取得支配地位,

而这有助于揭示

系统的更接近真实的状态

经济计量学中计量经济模型的建立就是应用最小二乘法原理

而且这一方法贯穿于

计量经济学的始终

基于最小二乘法的状态估计理论及实验仿真分析

北方民族大学

学士学位论文

析

论文题目: 基于最小二乘法的状态估计理论及实验仿真分

院(部)名 称: 信息与计算科学学院 学 生 姓 名: 专 业: 学 号: 指导教师姓名: 论文提交时间: 论文答辩时间: （不填） 学位授予时间: （不填）

最小二乘法求直线拟合是在大学物理实验数据处理中常见的一种方法,在实验数据比较多的情况下,利用最小二乘法公式求线性参数和相关系数运算量大,费时费力。提出用Excel软件中的LINEST函数进行数据处理的方法及优点。

■匪L NE T函数在最小二乘法求直线拟合中的应用 l S王岱(水师范学院物理与信息科学学院，天甘肃天水摘要：最小二乘法求直线拟合是在大学物理实验数据处理中常见的一种方法，实验数据比较多的情况下，用最在利 小二乘法公式求线性参数和相关系数运算量大，时费力。费提出用Ex e软件中的L NE T￣数进行数据处理的方法及优点。 cl I S 关键词：最小二乘法直线拟合 UNE T函数应用 S

7 10 ) 4 0 1

∑XY∑X一∑y∑X ..— —

∑x∑ y n∑x — v

.

( i一∑X) n∑x 和 Y

÷—

一6,一— ()= b—

(;‘n∑x∑x)一

()进一步可得x 7, .

。

的相关系 : 数：一二 ! () 8

三兰

:

、∑ x∑/) y E i)/ (一 x‘ i Y。。 n (—/ n最小二乘法求直线拟合的原理在大学物理实验中，有不少直接从实验的数据求某种物理规律的经验方程即函数关系的问题，此类问题称为方程的回归问题。方

最小二乘

普通最小二乘法（OLS）

普通最小二乘法（Ordinary Least Square，简称OLS），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。

在已经获得样本观测值yi,xi（i=1,2, ,n）的情况下（见图2.2.1中的散点），假如模型

^

（2.2.1）的参数估计量已经求得到，为 0和

^

1，并且是最合理的参数估计量，那么直线

方程（见图2.2.1中的直线）

^

^

^

yi 0 1xi i=1,2, ,n (2.2.2)

^

应该能够最好地拟合样本数据。其中yi为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。

n

Q

i 1

(yi 0 1xi)

n

2

i

2

ui Q( 0, 1)

2

Q

0 0, 1 1

2

u i

y

1

i y

y

1

n

i

0 1xi

2

minQ( 0, 1)

(2.2.3)

为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。这就是最小二乘原则。那么，就可以从最小

线性最小二乘法在化学中的应用

摘要：本文主要通过利用线性最小二乘法在解决温度与速率常数问题和求动力学的反应级数和速率常数中的应用，来说明线性最小二乘法在化学中的应用。 关键词：线性 最小二乘法 速率常数 反应级数 一、引言

在通常的化学实验中，经常要通过改变一个物理量的数值测定与它相关的另一物理量的变化。它们之间呈现的关系一般为简单的直线关系，或者经过数学换算后的关系呈现直线关系。如通常根据动力学的实验数据求出动力学参数。动力学参数就是指化学反应速率方程中的参数，如吸附平衡常数、反应速率常数以及反应级数等。处理这种实验数据一般应用最小二乘法进行直线拟合。但由于计算过程比较繁琐，人们往往舍去不用，而是在坐标纸上根据获得的实验数据描点做直线，这就不可避免的又引入了人为的主观误差。但随着计算机科学的发展，人们可以借助各种计算机软件如Matlab、Oringe和Visual Basic等，进行计算机编程后自动绘图，则所求斜率和截距能避免手工作图造成的误差，可信度更高。这就使得最小二乘法越来越被人们所采用，而本文主要讨论线性最小二乘法在化学中的应用。

二、线性最小二乘法

最小二乘法是一种统计学的方法，亦称回归分析法。原理是：对于一个正态分布来

线性最小二乘法在化学中的应用

摘要：本文主要通过利用线性最小二乘法在解决温度与速率常数问题和求动力学的反应级数和速率常数中的应用，来说明线性最小二乘法在化学中的应用。 关键词：线性 最小二乘法 速率常数 反应级数 一、引言

在通常的化学实验中，经常要通过改变一个物理量的数值测定与它相关的另一物理量的变化。它们之间呈现的关系一般为简单的直线关系，或者经过数学换算后的关系呈现直线关系。如通常根据动力学的实验数据求出动力学参数。动力学参数就是指化学反应速率方程中的参数，如吸附平衡常数、反应速率常数以及反应级数等。处理这种实验数据一般应用最小二乘法进行直线拟合。但由于计算过程比较繁琐，人们往往舍去不用，而是在坐标纸上根据获得的实验数据描点做直线，这就不可避免的又引入了人为的主观误差。但随着计算机科学的发展，人们可以借助各种计算机软件如Matlab、Oringe和Visual Basic等，进行计算机编程后自动绘图，则所求斜率和截距能避免手工作图造成的误差，可信度更高。这就使得最小二乘法越来越被人们所采用，而本文主要讨论线性最小二乘法在化学中的应用。

二、线性最小二乘法

最小二乘法是一种统计学的方法，亦称回归分析法。原理是：对于一个正态分布来

数学分析,插值和拟合

问题的提出

插值法是利用函数在一组节点上的值， 插值法是利用函数在一组节点上的值，构造一 个插值函数来逼近已知函数， 个插值函数来逼近已知函数，并要求插值函数P(x) 与已知函数f(x)在节点处满足插值条件 P(xi)=f(xi)(i=0,1,2,...,n)。在实际应用中往往会遇到这 。 种情况：节点上的函数值并不是很精确， 种情况：节点上的函数值并不是很精确，这些函数 值是由测量或实验得来的，不可避免地带有误差， 值是由测量或实验得来的，不可避免地带有误差， 如果插值会保留这些误差，影响精度;另外若要预测 如果插值会保留这些误差，影响精度 另外若要预测 以后某点的函数值,插值的误差也会较大 插值的误差也会较大.为了尽量减 以后某点的函数值 插值的误差也会较大 为了尽量减 少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小， 少这些误差的影响，从总的趋势上使偏差达到最小， 这就提出了曲线拟合的最小二乘法。 这就提出了曲线拟合的最小二乘法。

数学分析,插值和拟合

实例讲解

某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系， 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系，下表给出 个纤维样品的强度与相应拉伸倍数的记录。 的是实际测定的24个纤维样品的

系统辨识与最小二乘法之间的关系

目 录

一、系统辨识的定义 .................................................................................................................. - 2 -

二、最小二乘法的引出 .............................................................................................................. - 2 -

三、最小二乘法的原理 .............................................................................................................. - 3 -

3.1 最小二乘法一次完成推导[1] ........................................................................................ - 3 -

3.2最小二乘法的缺陷[ 5