《高等数学》同济大学

高等数学公式

导数公式：

(tanx) sec2x(cotx) csc2x(secx) secx tanx(cscx) cscx cotx(ax) axlna

1

(logax)

xlna

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

(arcsinx)

1

x2

1

(arccosx)

x21

(arctanx)

1 x2

1

(arccotx)

1 x2

tanxdx lncosx C cotxdx lnsinx C

secxdx lnsecx tanx C cscxdx lncscx cotx C

dx1x

C a2 x2aadx1x a

ln x2 a22ax a Cdx1a x

a2 x22alna x Cdxx

arcsin C a2 x2

a

2

n

dx2

sec cos2x xdx tanx Cdx2

csc2 sinx xdx cotx C

secx tanxdx secx C

cscx cotxdx cscx C

ax

adx lna C

x

shxdx chx C chxdx shx C

dxx2 a2

ln(x x2 a2) C

2

In sinxdx cosnxdx

n 1

In 2n

x2a22

x adx x a ln

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.

1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且f?x,y??0所表示的曲面（图10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

??1,??2,?,??n,

1

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小

第十章 重积分

一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f?x?在区间??a,b??上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用.

第1节 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D，其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z?f?x,y?，且

f?x,y??0所表示的曲面（图

10—1）.

图10—1

现在讨论如何求曲顶柱体的体积.

分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图10—2）.

图10—2

(1)分割闭区域D为n个小闭区域

同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积，用d?Δσi?表示区域Δσi的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.

(2)在每个小闭区域上任取一点

对第i个小曲

第五章 定积分及其应用

本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.

第1节 定积分的概念与性质

1.1 定积分问题举例 1.1.1

曲边梯形的面积

曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间?a,b?上非负、连续? 由直线x?a,x?b,y?0及曲线y?f(x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧y?f(x)称为曲边?

求曲边梯形的面积的近似值?

将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形?每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间?a,b?中任意插入若干个分点（图5-1）

a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b,

把?a,b?分成n个小区间

?x0,x1?,?x1,x2?, ?x2,x3?,?,?xn?1,xn?,

它们的长度依次为?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,?,?xn?xn?xn?1.?

经过每一个分点作平行于y轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形?在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i, 以?xi?1

第三篇 常微分方程

第六章 常微分方程

函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．

在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．

第一节 微分方程的概念

下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念．

1．1 引例

引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点P(x,y)处的切线斜率为2x，求这条曲线方程．

解 设所求曲线方程为y?f(x)，且曲线上任意一点的坐标为(x,y)．根据题意以及导数的几何意义得

dy?2x. dx 两边同时积分得

y?x?c （c为任意常数）．

又因为曲线通过（1，2）点，把x?1，y?2代入上式，得c?1．故所求曲线方程为

2y?x2?1．

?引例2 将温度为100C的物体放入温度为0?C的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的

速度与温度T成正比，求物体的温度T与时间t之间的函数关系．

解 依照冷却定律，冷却方程为

dT， ??kt （k为比例常数）

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?

0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?

80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m

习题6?3

1? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F(单位? N)与伸长量s(单位? cm)成正比? 即F?ks (k为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?

解 将弹簧一端固定于A? 另一端在自由长度时的点O为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW?ksds? 所求功为 W??ksds?1ks20?18k(牛?厘米)?

0266 2? 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？ 解 由玻?马定律知?

PV?k?10?(?102?80)?80000??

设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2? 则

P(x)?[(?102)(80?x)]?80000?? P(x)?800?

80?? 功元素为dW?(??102)P(x)dx? 所求功为 W??40408001dx?800?ln2(J)? (??10)?dx?80000??080??80??20 3? (1)证明? 把质量为m

高数上册答案

高等数学第六版上册课后习题答案

第一章:

习题1 1

1 设A ( 5) (5 ) B [ 10 3) 写出A B A B A\B及A\(A\B)的表达式

解 A B ( 3) (5 )

A B [ 10 5)

A\B ( 10) (5 ) A\(A\B) [ 10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (A B)C AC BC 证明 因为

x (A B)C x A B x A或x B x AC或x BC x AC BC 所以 (A B)C AC BC

3 设映射f X Y A X B X 证明 (1)f(A B) f(A) f(B)

(2)f(A B) f(A) f(B) 证明 因为

y f(A B) x A B 使f(x) y

(因为x A或x B) y f(A)或y f(B)

y f(A) f(B) 所以 f(A B) f(A) f(B) (2)因为

y f(A B) x A B 使f(x) y (因为x A且x B) y f(A)且y f

习题12?3 1? 求下列齐次方程的通解? (1)xy??y?y2?x2?0? 解 原方程变为 令u?dyyy??()2?1? dxxxy? 则原方程化为 x u?xdu?u?u2?1? 即1du?1dx? xdxu2?1两边积分得 ln(u?u2?1)?lnx?lnC? 即u?u2?1?Cx? 将u?y代入上式得原方程的通解 xyy?()2?1?Cx? 即y?y2?x2?Cx2? xx dyy?yln? dxxdyyy 解 原方程变为?ln? dxxxy 令u?? 则原方程化为 x1du?1dx? u?xdu?ulnu? 即u(lnu?1)xdx两边积分得 ln(ln u?1)?ln x?ln C? 即u?eCx?1? y将u?代入上式得原方程的通解 x y?xeCx?1? (3)(x2?y2)dx?xydy?0? y 解 这是齐次方程? 令u?? 即y?xu? 则原方程化为 x (x2?x2u2)dx?x2u(udx?xdu)?0? 即udu?1dx?

习题 2?2 1? 推导余切函数及余割函数的导数公式? (cot x)???csc2x ? (csc x)???csc xcot x ? cosx?cosx 解 (cotx)??(cosx)???sinx?sinx?sinxsin2x22sinx?cosx??1??csc2x? ??22sinxsinxs??csc (csxc)??(1)???co2xx?coxt? sinxsinx 2? 求下列函数的导数? 7?2?12? (1)y?4?x5x4x (2) y?5x3?2x?3ex ? (3) y?2tan x?sec x?1? (4) y?sin x?cos x ? (5) y?x2ln x ? (6) y?3excos x ? (7)y?lnx? xxe (8)y?2?ln3? x (9) y?x2ln x cos x ? (10)s?1?sint? 1?cost7?2?12)??(4x?5?7x?4?2x?1?12)? 解 (1)y??(4?x5x4x28?2?