第九讲 和倍问题

六年级

第九讲 时钟问题

姓名 班级

一、训练目标：

1、认识有关时钟问题的数量关系；2、巩固行程问题数量关系，获得解决问题策略。

二、知识与方法归纳：1、基础知识：钟面上共60小格，1小格为1分钟；也可将钟面看着是

1

360°，1小格为6°，1°为6 分钟， 1大格为30°。分针速度是时针速度的12倍，即如果将

1

时针的速度看着1，则分针的速度为12（或将分针的速度看着1，则时针的速度为12 ）。分针与

111

时针的距离指的是分针比时针多走的格数或多走的度数。分针与时针的速度差为1－ = (或

1212

113

12－1=11)，速度和为1＋12 = 12 (或12＋1=13)。

2、策略方法：将时钟问题看着是时针与分针的相遇与追及问题，就大大降低了难度。为了更利于理解，在解答时钟问题时，常需要先根据题意画出时钟图，这样分针与时针追及或相遇就更直观了。

三、学方法：

例1：4点24分时，分针与时针所成的锐角是多少度？

例2：6点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再经过 分钟两针正好重合。

例3：9点

第九讲 智巧问题

一、方法和技巧

用“枚举法”、“类比法”、“极端性原则”、“正难则反”等方法解决非常规问题。

二、典型例题

A级 基础点睛

例一、有一只圆桶，里面盛了一些水。小明说桶里的水超过半桶，小红说不到半桶。

当时又没有任何测量器具，怎样才能断定谁说得对呢？

【做一做1】小城镇共有5000户居民，每户居民的子女都不超过2个，一部分家庭有1个孩子，余下的家庭的一半没家有2个孩子，另一半没有孩子，问这个城镇共有多少个孩子？

例二、小燕在少年宫猜谜室里发现一个有趣的图形，9盏绿灯纵横交错地排成十行。

而且每行都是三盏灯，请画出它的排列方式。

【做一做2】五年级同学把10棵树平均种成了5行，每行都是4棵。他们是怎样种的，请你画图表示出来。

例三、某食堂买回100个鸡蛋，每袋装10个，其中9只袋里装的鸡蛋，每个都是50

克重，另一袋装的每只都是40克重，这10袋混在一起，只准用秤称一次，就能找出哪一只袋装的每个是40克重的鸡蛋。是怎么办到的？

【做一做3】16个外表一样的球，有10克和9克两种重量。现在用一台天平来测定每种球各几个。先取两个球，天平两边各放一个。结果天平不平衡，就拿这两个球做标准，将余下

第九讲浓度问题 知识广角

1、 以盐水为例，盐溶解于水得到盐水。其中盐叫溶质，水叫溶剂，盐水叫溶液，盐占盐水

的百分比就是盐水的百分比浓度。即溶质占溶液的百分比浓度，简称浓度。所以浓度问题属于百分数应用题。

浓度问题常见的基本数量关系有： ① 溶液质量=溶质质量＋溶剂质量 如：盐水的质量=盐的质量＋水的质量 ② 浓度=溶质质量÷溶液质量×100％ 如：盐水浓度=盐的质量÷盐水质量×100％ 根据②式不难得到： ③ 溶质质量=溶液质量×浓度 如：盐的质量=盐水质量×盐水浓度 ④ 溶液质量=溶质质量÷浓度 如：盐水质量=盐的质量÷盐水浓度 ⑤ 溶液质量=溶剂质量÷（1－浓度） 如：盐水质量=水的质量÷（1－浓度） 2、浓度问题主要包括如下内容：

①依据浓度问题基本关系式解题。

②溶剂（水）产生变化但溶质（盐）不变，溶质（盐）产生变化但溶剂（水）不变，这类问题可以参看分数应用题中抓住不变量的方法解答。

③两种或者两种以上的溶液混合问题，这一类问题我们一般用配比法或方程解题。 方法探究

例1、 一杯盐水的浓度是30％，含盐60克，这杯盐水多少克？含水多少克？ 思路导航：本题知道盐的质量和浓度，可以直接利用浓度的基本数量关系解答。

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第一讲 和差、和倍、差倍问题

一、精典例题

例1：妈妈买了一套套装用了456元，上衣比裤子贵66元，那么买一件上衣和一条裤子分别需要多少钱？

上衣价格（456+66）÷2=261（元）

裤子价格（456－66）÷2=195（元） 或 261-66＝195（元）

例2：小明家有公鸡和母鸡一共45只，公鸡是母鸡的4倍，各有多少只？ 母鸡只数：45÷（4＋1）＝9（只）

公鸡只数：9×4＝36（只） 或 45-9＝36（只）

例3：某工厂有两个车间，第一车间比第二车间多做210个零件，第一车间做的零件数是第二车间的3倍。两个车间各做零件多少个？ 第二车间：210÷（3-1）＝105（个）

第一车间：105×3＝315（个） 或 105＋210＝315（个）

二、知识要点

1、和差问题：大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2 2、和倍问题：小数（1倍数）＝和÷（倍数+1） 3、差倍问题：小数（1倍数）＝差÷（倍数-1）

三、练习题

1、两个数的和是36，差是22，求大、小两数各是多少？

2、林红和李强共有170张画片，林红比李强多20张，林红和李强各有多少张画片？

3、两筐苹果共重55千克，

第九讲 包含和排除

1、某山区的村落有人口2476，全村落的人都会说普通话或广东话，调查所得，会说普通话的有1765人，会说广东话的有987人．问会说普通话和广东话两种语言的有多少人？ 2、从1到100的正整数中，不含数字1的数有多少个？ 3、为了做科展，小丁观察一段期间里的天气，共写出4个数据： (1)上午和下午共下雨7次; (2)有5天下午未下雨; (3)有6天上午未下雨;

(4)下午下雨的那几天，上午都未下雨。 请问在这段期间里有多少天全天未下雨？

4、某个班的全体学生进行了短跑、游泳，篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到优秀，这部分学生达到的项目、人数如下表;

求这个班的学生数。

5、在1~209这209个自然数中，与209互质的自然数共有多少个？

6、在不大于1000的自然数中，不能被3、5、7中任何一个整除的数共有个。

7、体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1、2、……、59、60，然后让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是5的倍数的同学向后转，最后又让报数是6的倍数的同学向后转。现在面向老师的学生还有名。

8、甲乙丙三人共解出100

第1讲 和倍与和差问题

知识点

1. 和倍问题：题目条件中给出了和的关系和倍数关系的问题，通过和、倍条件来求出具体每个数量的大

小．

2. 画线段图是解决这类问题的基本方法．

（和?差）?2；较大的数?（和?差）?2． 3. 和差问题公式：较小的数?典型例题

画线段图

学会画线段图，先画“1”段，再根据其他量与“1”段之间的关系，画出其他量．

例1 水果店有两筐苹果，分别是红富士苹果和普通苹果，由于红富士苹果卖得好，水果店多进了货，一筐

普通苹果重15千克，一筐红富士苹果的重量比一筐普通苹果的3倍多5千克．一筐红富士苹果重多少千克？

例2 墨莫和小山羊比赛吃巧克力，墨莫吃了8块巧克力，小山羊吃的巧克力比墨莫吃的7倍还多4块．小

山羊吃了多少块巧克力？

例3 一班有女生20人，男生人数是女生人数的2倍少5人，一班共有多少人？

和倍问题

例4 墨莫和小高参加学校组织的植树活动．两人一共种了12棵树，其中小高植树的棵数是墨莫的2倍．小

高种了几棵树？

例5 某小学有学生共1500名，其中男生人数是女生的2倍．请问：男、女生各有多少人？

例6 书架上放着一些童话书和科幻书，一共有47本．童话书的数量比科幻书数量的4倍少3本．书架上

第8讲 和差倍问题三

兴趣篇

1. 有长、短两根竹竿，长竹竿的长度是短竹竿长度的3倍，将它们插入水槽中，插入水中

的长度都是40厘米，而露出水面部分的总长为160厘米。请问：短竹竿露在外面的长度是多少厘米？

2. 李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆。如果从甲堆中拿出15个放

到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆中拿出15个放到甲堆中，则甲堆零件的个数是乙堆的3倍。问：甲堆原来有零件多少个？李师傅这一天共生产了多少个零件？

3. 爸爸和小高一起搬砖头，爸爸所搬的砖头数是小高的3倍。小高觉得自己搬的砖头太少

了，又搬了24块砖头，于是爸爸所搬的砖头数是小高的2倍。请问：最后爸爸和小高各搬了多少块砖？

4. 阿呆和阿瓜回收矿泉水瓶，一开始阿呆回收的是阿瓜的4倍，后来阿瓜又多回收了15

个，结果阿呆就只是阿瓜的2倍了。请问：阿呆回收了多少个矿泉水瓶？

5. 四年级三班买来单价为5角的练习本若干，如果将这些练习本只分给女生，平均每人可

得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本。请问：将这些练习本平均分给全班同学，每人可以得到多少本？此时每人应付多少钱？

6. 有甲、乙、丙三所小学的同学来

第七讲 年龄问题 【 基本概念和有关知识】

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。 【 例题讲解】

例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

例2 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？

例3 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？

例4 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是7

和倍问题

1．

甲乙两车间共有工人664人，甲车间的人数是乙的3倍，甲乙

两车间各有工人多少人？ 2．

华强和建军共有图书84本，华强的图书本数是建军的3倍，

华强和建军各有图书多少本？ 3．

果园里有梨树，苹果树，桃树共207棵，其中梨树的棵数是苹

果树的3倍，苹果树的棵数桃树的2倍，三种果树各多少棵？ 4．

一所小学共有学生868人，中年级学生的人数是高年级的2倍，

低年级的人数是中年级的2倍，这所学校高中低年级各有学生多少人？ 5．

两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取出15千克到乙箱，；‘那

么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原有茶叶各多少千克？ 6．

小明，小玲两人共有糖果63块，如果小明给小玲9块糖果，

小玲的块数是小明的2倍，他们两人原有糖果各多少块？ 7．

一个两层书架，上层有书85本，下层有书32本，要从上层拿

几本书到下层，上层书的本数就正好是下层的2倍？ 8．

有两袋大米，第一袋97千克，第二袋44千克，从第一袋中取

出多少千克大米放入第二袋，就能使第一袋大米的重量是第二袋的2倍？ 9．

某畜牧厂有山羊，绵羊共670只，如果绵羊减少30只，山羊

增加200只，则山羊的只数就是绵羊的3倍，求原来山羊绵羊各多少只？

10． 有两堆棋子共49个，如

和倍问题

1．

甲乙两车间共有工人664人，甲车间的人数是乙的3倍，甲乙

两车间各有工人多少人？ 2．

华强和建军共有图书84本，华强的图书本数是建军的3倍，

华强和建军各有图书多少本？ 3．

果园里有梨树，苹果树，桃树共207棵，其中梨树的棵数是苹

果树的3倍，苹果树的棵数桃树的2倍，三种果树各多少棵？ 4．

一所小学共有学生868人，中年级学生的人数是高年级的2倍，

低年级的人数是中年级的2倍，这所学校高中低年级各有学生多少人？ 5．

两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取出15千克到乙箱，；‘那

么乙箱的千克数是甲箱的3倍，两箱原有茶叶各多少千克？ 6．

小明，小玲两人共有糖果63块，如果小明给小玲9块糖果，

小玲的块数是小明的2倍，他们两人原有糖果各多少块？ 7．

一个两层书架，上层有书85本，下层有书32本，要从上层拿

几本书到下层，上层书的本数就正好是下层的2倍？ 8．

有两袋大米，第一袋97千克，第二袋44千克，从第一袋中取

出多少千克大米放入第二袋，就能使第一袋大米的重量是第二袋的2倍？ 9．

某畜牧厂有山羊，绵羊共670只，如果绵羊减少30只，山羊

增加200只，则山羊的只数就是绵羊的3倍，求原来山羊绵羊各多少只？

10． 有两堆棋子共49个，如