数论整除问题

数论的灵魂(整除问题)

一、数的整除之四大判断法： 1．2系列：

被2整除只需看末位能否被2整除； 被4整除只需看末两位能否被4整除；

被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推；

以四位数abcd为例，四位数abcd=1000×a+100×b+10c+d。10、100、1000都是2的倍数，只需d也是2的倍数即可。 2．3系列：

被3整除只需看各位数字之和能否被3整除； 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除；

以3为例，abcd=1000×a+100×b+10c+d =999a+99b+9c+a+b+c+d。999、99、9均为3的倍数。只需要a+b+c+d是3的倍数即可。

从中我们还发现，数字之和除以3余几，则原数除以3余几。9依次类推。 3．5系列：

被5整除只需看末位是否为0或5

被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75． 被125整除的特征依次类推看末三位。 4．7、11、13系列： 通用

⑴一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除。比如201201=201×1001，则其必然能被7、11、13整除；

⑵从末三位开始，三位一段，奇数数之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7

数论之整除性

姓名：叶雨菲 时间：_________

考试要求

（1） 熟悉常见数的整除性质

（2） 对于整除含义的理解，求解一些特定问题

知识框架

整除性质

（1）2：个位是偶数的自然数 （2）5：个位是0或5的自然数

注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0 （3）4、25：末两位能被4、25整除 （4）8、125：末三位能被8、125整除 （5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除 （6）7、11、13通用性质：

①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13

整除

②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数

③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数

（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除 （8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除 （9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除

注意：当同时能被多个数整除时，一般优先顺序为2和5确定个位，再4

五年级上学期 第五讲，数论问题第01讲

整 除

【内容概述】

熟练掌握能被2、3、4、5、8、9、11整除的性质，并了解这些性质的来源．学会用筛选法找质数，发现一些和数论有关的问题． 【典型问题】

1.

【50501】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）173□是一个四位数．数学

老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

2.

【50502】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★）如果六位数1992□□能被

105整除，那么它的最后两位数是多少？

3.

【50503】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）某个七位数1993□□□能

够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？

4.

【50504】（导引偶数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）从0，1，2，3，4，5，6，

7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？

5.

【50505】（导引奇数题，五上第5讲整除，数论第1讲★★）修改31743的某一个数字，

可以得到8

1.已知10□8971能被13整除，求□中的数。 解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的个位数是7，若是13的倍数，则必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的数是8。

2.判断18937能否被29整除；

3.判断296416与37289能否被59整除。 解：（1）上述变换可以表示为：

由此可知，296416能被59整除，37289不能被59整除 4.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。 5.在下列各数中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？ 1861026， 1884924， 2175683， 2560437， 11159126，131313555，266117778。

6.在下列各数中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？ 55119， 55537， 62899， 71258， 186637，872231，5381717。

7.在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728，8064。 解：能被4整除的数有7756，3728，8064； 能被8整除的数有3728，8064； 能被9

初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室

第二讲 整数的整除性

一、基础知识： 1．整除的基本概念与性质

所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．

定义： 设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．也称b是a的约数，a是b的倍数。

如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作b｜a． 关于整数的整除，有如下一些基本性质：

性质1若a|b,b|c，则a|c

证明：∵a|b,b|c，∴b?ap,c?bq（p,q是整数），

∴c?(ap)q?(pq)a，∴a|c

性质2 若a｜b，b｜a，则 |a|=|b|．

性质3 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)，且对任意整数m，n，有c｜(ma±nb)．

证明：∵a|b,a|c，∴b?ap,c?aq(b,q是整数），

∴b?c?ap?aq?a(p?q)，∴a|(b?c)

性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．特别地，对于任意的非零整数m，有bm｜am 性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．

性质6 若b｜a，c｜a，则[b，

1. 数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质

2.1.1定义

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.1.2表达式和读法

b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；

2.1.3基本性质

① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍

数；

② 加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b?c);

③ 因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，

且ab互质，则ab的积能整除c;

⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

2.2数的整除的判别法

2.2.1末位判别法

整除数 特 征 好朋友10，1个零，所以判断末1位； 2和5 2：末1位能被2整除；尾是0、2、4、6、8； 5：末1位能被5整除；尾是0、5； 好朋友100，2个零，所以判断末2位； 4和25 4或25：末2位数是4（或25）的倍数 好朋友1000，3个零，所以判断末3位； 8和125 8或125：末3位数是8（

1. 数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质

2.1.1定义

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

2.1.2表达式和读法

b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；

2.1.3基本性质

① 传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍

数；

② 加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b?c);

③ 因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c; ④ 互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，

且ab互质，则ab的积能整除c;

⑤ a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

2.2数的整除的判别法

2.2.1末位判别法

整除数 特 征 好朋友10，1个零，所以判断末1位； 2和5 2：末1位能被2整除；尾是0、2、4、6、8； 5：末1位能被5整除；尾是0、5； 好朋友100，2个零，所以判断末2位； 4和25 4或25：末2位数是4（或25）的倍数 好朋友1000，3个零，所以判断末3位； 8和125 8或125：末3位数是8（

数论之同余问题

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必

考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），

知识点拨：

三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等 于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m

第五讲 整数问题之一

整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。

对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：

49=4×10+9，

235=2×100+3×10+5，

7064=7×1000+6×10+4，

???????

就是

一、整除

整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.

1.整除的性质

性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）.

例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

性质2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

性质3 如果a能同时被m、n整除，那么a也一定

能被m和n的最小公倍数整除.

例如：6丨36，9丨26，6和9的最

数学竞赛中的数论问题 韩熙

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3， 是这样一个集合N ：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a的后面都有且只有一个后继数a；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N 的子集M，若1 M，且当a M时，有后继数a M，则M N ． 就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数 素数（