勾股定理的应用知识点总结

《勾股定理分类练习》

题型一：直接考查勾股定理：直角三角形中，若a, b分别为直角边，c为斜边，那么直角三角形三边的关系为 a2 +b2 =c2

变形公式：

1、如图1中,64、400分别为所在正方形的面积，则图中A 字母所代表的正方形面积是

C D B A 7cm

2、 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,

则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。 3、在Rt△ABC中,斜边AB2 =3,则AB2+BC2+AC2的值是______ “知二求一”的题，可以直接利用勾股定理变形公式！

4、在?ABC中，?C?90?．

⑴已知AC?6，BC?8．求AB的长 ⑵已知AB?17，AC?15，求BC的长

5、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A．25

B．14

C．7

D．7或25

题型二：应用勾股定理建立方程（“知一求二”的题，应设未知数） 1、已知直角三角

初中数学

勾股定理全章知识点总结大全

一．基础知识点： 1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a+b＝c） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC中， C 90

，则c

b

，a

2

2

2

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c<a+b，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为

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勾股定理全章知识点总结大全

一．基础知识点：

1：勾股定理: 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在?ABC中，?C?90?，则c?a2?b2，b?c2?a2，a?c2?b2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

2

2

2

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性

勾股定理

一．知识归纳 １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1

方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

2

D

E

b

A

c

BC

方法二：

ba

c

a

b

b

c

cb

a

a

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

1

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c2

2大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2 所以a2 b2 c2

111

方法三：S梯形

勾股定理全章知识点总结和典型例习题分析 一、基础知识点： １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 b2 c2 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 D

H 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

E

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 b②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定

cA

理

常见方法如下： ba方法一：4S S正方形EFGH S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

12

a

c

C

B

b

b

cb

a

a

Aa

1

S 4 ab c2 2ab c2，大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab

b22

Db

篇一：勾股定理的应用举例练习题

勾股定理的应用举例练习题

1、如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（ ）

A．6B．3C． D．

2、如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1，一蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到C1点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为（ ）

A．B．C．

D．

3、小明家与学校的距离仅有500m，但需要拐一个直角弯才能到达，已知拐弯处到学校有400m，则家门口到拐弯处有（ ）

A．300mB．350m C．400mD．450m

4、小颖家在学校正东600米，小丽家在学校正北800米，小颖和小丽家的直线距离为（ ）

A．600米 B．800米 C．1000米D．不能确定

5、如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（ ）

A．8cmB．10cm C．4cmD．20cm

6、如图，现要把阶梯形楼梯铺上地毯，所需地毯长度为（ ）

A．米B．4米C．8米 D．（4+）米

7、如图，一场大风后，一棵与地面垂直的树在离地面1m处的A点折断，树尖B

全等三角形、勾股定理教案

②对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换；

③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换；

同步训练：

1、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，E 为AC 边上的点，BE=DE.试判断：

⑴图中有哪些三角形全等？请说明理由。

⑵图中有哪些角相等？

2、如图1，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，则△ABD ≌＿＿＿，△ABC 是＿＿＿三角形。

3、如图2，若AB ＝DE ，BE ＝CF ，要证△ABF ≌△DEC ，需补充条件＿＿＿＿或＿＿＿＿。

4、如图3，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，E 、F 是BD 上两点，且BF ＝DE ，则图中共有＿＿＿对全等三角形，它们分别是＿＿＿＿＿。

A B C D 1 A D B

C E F 图3 A B C

D O 图4 A D B C

E

F 图5 A D B E F C 2

5、如图4，四边形ABCD 的对角线相交于O 点，且有AB ∥DC ，AD ∥BC ，则图中有＿＿＿对全等三角形。

6、如图5，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E 、F 在DB 上两点且B

第一章

勾股定理

3. 勾股定理的应用

教学目标 1能运用勾股定理及直角三角形的判别条件 解决简单的实际问题。 2学会观察图形，探索图形间的关系。 3学会将实际问题抽象成几何图形。

从二教楼到综合楼怎样走最近？ 说明理由.

石室联中平面图一 教 楼 综 合 楼 二 教 楼

操场两点之间,线段最短.

问题情境在一个圆柱石凳上， 若小明在吃东西时留下了一 点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息， 于是它想从A处爬向B处，你 们想一想，蚂蚁怎么走最近？A B

合作探究以小组为单位,研究蚂 蚁爬行的最短路线.B

A

A’

d

B

A’

B

A

A

蚂蚁A→B的路线OB B

A

A

怎样计算AB?A’

r

O

B

A’

B

h

侧面展开图

A

A

在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得: AB 2 AA 2 A ' B 2 其中AA’是圆柱体的高,A’B是 底面圆周长的一半(πr) .

若已知圆柱体高为12 cm,底面半径为 3 cm,π取3,则:

AB 12 (3 3) AB 152 2 2A’

3

O

B侧面展开图

A’12

3π B

12

A

A

方法提炼 用所学数学知识去解决实际问题的关键： 根据实际问题建立数学模型；

具体步骤：1. 审题——分析实际问题； 2. 建模——建立相

散第 2 课 动量定理的拓展应用

1、动量定理FΔt＝mvt－mv0可以用一种更简洁的方式FΔt=ΔP表达，式中左边表示物体受到的冲量，右边表示动量的增量（变化量）。此式稍加变形就得F?mvt?mv0?t??p?t

其含义是：物体所受外力（若物体同时受几个力作用，则为合外力）等于物体动量的变化率。这一公式通常称为“牛顿第二定律的动量形式”。这一形式更接近于牛顿自己对牛顿第二定律的表述。应用这个表述我们在分析解决某些问题时会使思路更加清晰、简洁。

2、物体动量的增量可以是物体质量不变，由速度变化形成：ΔP=mv2I一mv1=m（V2一v1）=mΔv，

动量定理表达为FΔt=mΔv.也可以是速度不变，由质量变化形成：ΔP＝m2v一mlv=（m2一ml）v＝Δmv,动量定理表达为FΔt＝ΔmV。在分析问题时要注意第二种情况。

动量守恒定律 第散3课知识简析 一、动量守恒定律

1、内容：相互作用的物体，如果不受外力或所受外力的合力为零，它们的总动量保持不变，即作用前的总动量与作用后的总动量相等． 2、 动量守恒定律适用的条件 ①系统不受外力或所受合外力为零． ②当内力远大于外力时．

③某一方向不

正弦定理和余弦定理

一、正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c22bccosA； 内容 abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R b2＝c2＋a22cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； abc(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；变形 a＋b＋cabc(4)＝＝＝； sin A＋sin B＋sin Csin Asin Bsin C(5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 二、对三角形解的个数的探究 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角； 2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．

第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定． 第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况． 下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．

法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三