傅里叶频谱和空间域图像的关系

傅里叶变换 图像 数字水印

第27卷第24期Vol.27

No.24

计算机工程与设计

ComputerEngineeringandDesign

2006年12月Dec.2006

分数傅里叶域图像数字水印方案

何

摘

泉1，田瑞卿1，王彦敏2

(1.北京化工大学信息科学与技术学院，北京100029；2.北京石油化工学院信息工程学院，北京102617)

要：根据离散分数傅里叶变换(DFRFT)，提出了一种基于分数傅里叶变换的图像数字水印方案。分数傅里叶变换具有空域和频域双域表达能力，可以对原始图像和水印信号分别进行不同阶次的分数傅里叶变换以增强水印安全性。将水印信号的分数傅里叶谱叠加在原始图像在视觉上的次重要分量上。在JPEG压缩、图像旋转、高斯低通滤波的攻击方式下，对水印图像进行了鲁棒性分析，实验表明该算法具有良好的鲁棒性。

关键词：图像处理;离散分数傅里叶变换;数字水印;版权保护;鲁棒性中图法分类号：TN911.73

文献标识码：A

文章编号：1000-7024(2006)24-4642-02

DigitalimagewatermarkinginfractionalFouriertransformationdomain

HEQuan1,

TIANRui-qing1,

WANG

实验报告

课程名称 信号与线性系统分析

实验名称 周期信号的傅里叶级数和频谱分析 实验类型 验证 （验证、综合、设计、创新）

3日

实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析

1实验目的

1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。

2实验原理及实例分析

周期信号可以再函数的区间里展成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别成为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。

2.1周期信号的傅里叶级数

（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。）

例1：周期方波信号f(t)如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs现象。

f(t)3210-1-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

图1 周期方波信号f(t)的波形图

解：从理论分析可知，周期方波信号f(t)的傅里叶级数展开式为

f(t)?1111(sin?0t?sin3?0t?sin5?0t?sin7

重庆三峡学院 《信号与系统分析》实验

实验四、周期信号的傅里叶级数和频谱分析

1实验目的

1）学会利用MATLAB分析傅里叶级数展开，并理解傅里叶级数的物理含义； 2）学会利用MATLAB分析周期信号的频谱特性。

2实验原理及实例分析

2.1 周期信号的傅里叶级数

（基本原理请参阅教材第四章的4.1节和4.2节。）

例1：周期方波信号f(t)如图1所示，试求出该信号的傅里叶级数，利用MATLAB编程实现其各次谐波的叠加，并验证Gibbs现象。

f(t)3210-1-2-3-2-1.5-1-0.50t(sec)0.511.52

图1 周期方波信号f(t)的波形图

解：从理论分析可知，周期方波信号f(t)的傅里叶级数展开式为

f(t)?4(sin?0t?1111sin3?0t?sin5?0t?sin7?0t?sin9?0t??) 3579?其中，?0?2??2?。则可分别求出1、3、5、9、19、39、79、159项傅里T叶级数求和的结果，其MATLAB程序如下，产生的图形如图2所示。

close all;clear all; clc

t =

本文介绍了在Radon变换下的图像矩特征的抽取方法,并得到图像的矩特征矩阵;进而对矩特征矩阵按行向量进行傅里叶变换组成矩-傅里叶描述子特征矩阵,采用矩阵的加权欧氏距离作为人脸图像的匹配识别的算法,产生较好的结果。

维普资讯 http://www.77cn.com.cn

基于矩一傅里叶描述子人脸图像识别王耀明崔新春刘挺 (海师范大学理工信息学院上上海 2 24￣ 3)

摘

要

本文介绍了在 R d n变换下的图像矩特征的抽取方法，得到图像的矩特征矩阵；而对矩特征矩阵按行向量进行傅 ao并进

里叶变换组成矩一傅里叶描述子特征矩阵，采用矩阵的加权欧氏距离作为人脸图像的匹配识别的算法，生较好的结果。产 关键词 R dn变换矩一傅里叶描述子 ao人脸图像识别矩特征矩阵

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实验1：线性系统的时域分析及MathCAD实现

一. 实验目的:

1. 掌握信号的时域（连续函数和序列）的表示方法, 掌握信号的时域分析与变换，包

括信号的叠加，反转，平移，尺度变换。

2. 掌握信号的卷积包括连续函数和离散函数的卷积。 二．实验原理

1． 信号的表示方法

普通函数：连续函数f(t)=sinx , f(t)=e-at

离散函数(序列) f(n)=n2 f(n)=sin(nwt) 奇异函数：冲击函数 δ(t)、 阶跃函数 u(t)、 斜坡函数 p(t) 抽样函数、 单位冲击序列、单位阶跃序列。 2．信号的时域变换 叠加f(t)=f1(t)+f2(t) 反转f(-t)

尺度变换 f(at)

3．卷积

连续函数的卷积：f(t)?离散函数的卷积：f(n)??????f1(?)f2(t??)d?

m????f1(m)f2(n?m)

三．实验过程

a：函数的表示方法

b：信号的时域变换

5：已知函数

求f(1-2t)的波形 c：卷积 1：连续函数的卷积：

2：离散函数的卷积：

练习：求下列函数的卷积 （1）求f1*f1

（2）求f1(n)*f2(n)

实验1：线性系统的时域分析及MathCAD实现

一. 实验目的:

1. 掌握信号的时域（连续函数和序列）的表示方法, 掌握信号的时域分析与变换，包

括信号的叠加，反转，平移，尺度变换。

2. 掌握信号的卷积包括连续函数和离散函数的卷积。 二．实验原理

1． 信号的表示方法

普通函数：连续函数f(t)=sinx , f(t)=e-at

离散函数(序列) f(n)=n2 f(n)=sin(nwt) 奇异函数：冲击函数 δ(t)、 阶跃函数 u(t)、 斜坡函数 p(t) 抽样函数、 单位冲击序列、单位阶跃序列。 2．信号的时域变换 叠加f(t)=f1(t)+f2(t) 反转f(-t)

尺度变换 f(at)

3．卷积

连续函数的卷积：f(t)?离散函数的卷积：f(n)??????f1(?)f2(t??)d?

m????f1(m)f2(n?m)

三．实验过程

a：函数的表示方法

b：信号的时域变换

5：已知函数

求f(1-2t)的波形 c：卷积 1：连续函数的卷积：

2：离散函数的卷积：

练习：求下列函数的卷积 （1）求f1*f1

（2）求f1(n)*f2(n)

第八章 热传导方程的傅里叶解

第一节 热传导方程和扩散方程的建立

8.1.1 热传导方程的建立

推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。

热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即

x u q k x

?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。

研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有

x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z

?=-? 或

即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。

下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。

第一步，定变量。研究介质

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：

其中：

?

u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。

? ? ?

/,

是空间中一点的温度对时间的变化率。 与

温度对三个空间座标轴的二次导数。

k 决定于材料的热传导率、密度与热容。

热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。

如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。

热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的 是对空间变量的拉普拉斯算子。

热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用

方波的傅里叶分解与合成

教 学 目 的 1、用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅

与相位关系。

2、将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。 3、了解傅立叶分析的物理含义和分析方法。

重 难 点 1、了解串联谐振电路的基本特性及在选频电路中的应用； 了解方波的傅立叶合成的物理意义。

2、选频电路将方波转换成奇数倍频正弦波的物理意义。

教 学 方 法 讲授与实验演示相结合。 学 时 3学时。 一、实验仪器

FD-FLY-I傅立叶分解合成仪，DF4320示波器，标准电感，电容箱。

二、原理

任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：

?1f(t)?a0??(ancosn?t?bnsinn?t)2n?1

a02?其中：T为周期，?为角频率。?＝T；第一项2为直流分量。

f(t)h-T-h0Tt-Th0-htf(t)图1 方波图2 三角波 所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有ｎ阶谐波的迭加。

如图1所示的方法可以写成：

T

院 校： 物理与电子科学学院 班 级： 0801 班 姓 名：

目 录

1. 引言……………………………………………………………………………… 2. 理论推导………………………………………………………………………… 2.1傅里叶级数 …………………………………………………………………… 2.2傅里叶积分及傅里叶变换 …………………………………………………… 2.3傅里叶积分、傅里叶变换的应用 …………………………………………… 2.3.1对无限长的细杆导热问题的研究 ………………………………………… 2.3.2对长度为l的细杆导热问题的研究………………………………………… 2.3.3波动方程的定解条件 ……………………………………………………… 3. matlab模拟结果………………………………………………………………… 4. 总结……………………………………………………………………………… 5. 参考文献…………………………………………………………………………

傅里叶积分、傅里叶变换及其应用的matlab实现

摘要：根据傅里叶积分、傅里叶变换理论，计算了若干例题，并利用此理论模拟了无限长细竿、有限长细竿的导热问