线性代数第五章答案周勇

第五章 相似矩阵及二次型

一、 是非题（正确打√，错误打×）

1．若线性无关向量组?1,?,?r用施密特法正交化为?1,?,?r则对任何

k(1?k?r),向量组?1,?,?k与向量组?1,?,?r等价. ( √ )

2. 若向量组?1,?,?r两两正交,则?1,?,?r线性无关. ( √ )

3.n阶正交阵A的n个行(列)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基. ( √ )

4.若A和B都是正交阵,则AB也是正交阵. ( √ ) 5.若A是正交阵, y?Ax,则y?x. ( √ ) 6．若An?nxn?1?2xn?1，则2是An?n的一个特征值. ( × ) 7.方阵A的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n阶矩阵A在复数范围内有n个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A有零特征值的充要条件是A?0. ( √ ) 10.若?是A的特征值,则f(?)是f(A)的特征值(其中f(?)是?的多项式).

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( )

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ).

?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( ).

(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( )

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ).

?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( ).

(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征

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线性代数第五章习题

第五章 相似矩阵及二次型 一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( ) 5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.( ) 9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( ) 二、单项选择题 ?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( ). ?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2 2.

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线性代数习题及答案all in

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n(n?1)…321； (4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

n(n?1)(3) τ(n(n?1)…32221)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

2(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).

2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.

5x124. 本行列式D4?3x1xi1i2i3i4x12的展开式中包含x3和x4的项.

2x3122x(i1i2i3i4)解： 设 D4??(?1)?ai11ai22ai33ai44 ，其中i1,i2,i3,i4分别为不同列中对应

元素的行下标，则D4展开式中含x3项有

(?1)?(2134)?x?1?x?2x?(?1)?(4231)?x?x?x?3??2x3?(?3x3)??5x3

D4展开式中含x4项有

(?1)?(12

线性代数习题及答案all in

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n(n?1)…321； (4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

n(n?1)(3) τ(n(n?1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

2(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).

2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.

5x1232的展开式中包含x3和x4的项. 3x1xx12x4. 本行列式D4?122x(i1i2i3i4)解： 设 D4?i1i2i3i4?(?1)?ai11ai22ai33ai44 ，其中i1,i2,i3,i4分别为不同列中对应

元素的行下标，则D4展开式中含x3项有

(?1)?(2134)?x?1?x?2x?(?1)?(4231)?x?x?x?3??2x3?(?3x3)??5x3

D4展开式中含x4项有

(?1)?(12

学年度第 学期

线性代数 课堂教学方案

授课年级 专业层次 授课班级 授课教师

年 月 日

《线性代数》教案

任课教师 授课时间 授课题目 （章节） 授课班级 教学时间安排 1 1学时 第五章 二次型 第一节二次型及其矩阵 ⑴ 了解二次型的概念 教学目的、要求（教学目标） 教学重点 与难点 教学方式、方法与手段 ⑵ 掌握二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质 ⑶ 熟练掌握求二次型秩的方法 二次型、二次型标准型及矩阵合同的概念及有关性质，求二次型秩的方法 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合 问题导入：在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax2?bxy?cy2?1 理论讲解30分钟，习题选讲10分钟，5分钟 的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换 练习、答疑 ?x?x?cos??y?sin? ???y?xsin??ycos?? 提问：n元二次型是如何定义的？ 把方程化为标准形式 教学基本内容 及过程

1

第一章 行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)3

811411

02---;

解

3

81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b

a c a

c b c b a ;

解

b

a c a c

b

c b a

=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc

=3abc -a 3-b 3-c 3.

(3)2

22111c b a c

b a ;

解

2

22111c b a c b a

=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)

y

x y x x y x y y x y x +++.

解

y

x y x x y x y y x y x +++

=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).

2. 按自然数从小到大为标准

第一章 行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:

(1)3

81141102---;=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1)

=-24+8+16-4=-4.

(2)b

a c a c

b

c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2

22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y

x y x x y x y y x y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3=-2(x 3+y 3).

2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0

(2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32.

(3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3

线性代数习题及答案(复旦版 主编：周勇 朱砾)

线性代数习题及答案all in

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n(n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n 1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n 1)=

n(n 1)

;

2

(4) τ(13…(2n 1)(2n)(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n(n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.

5x12

4. 本行列式D4

323

的展开式中包含

x1x

x12

x

x3和x4的项.

122x

(i1i2i3i4)

解： 设

D4

i1i2i3i4

( 1)

ai11ai22ai33ai44 ，其中i1,i2,i3,i4分别为不同列中对应元素的行下标，则D4展

开式中含

x3项有

( 1) (2134) x 1 x 2x ( 1) (4231) x x x 3 2x3 ( 3x3) 5x3