多元分析中

多元分析

一、聚类分析

1、 相似性度量

（1）样本的相似性度量

要用数量化的方法对事物进行分类，就必须用数量化的方法描述事物之间的相似程度。一个事物常常需要用多个变量来刻画。如果对于一个有待分类的样本带点需用p个变量描述，则每个样本点可以看成是R空间中的一个点。因此，想到用距离来度量样本点间的相似程度。

记?为样本点集，距离d(.,.)是????R?的一个函数，满足条件： 1）d(x,y)?0,x,y??； 2）d(x,y)?0,当且仅当x?y； 3）d(x,y)?d(y,x),x,y??；

4）d(x,y)?d(x,z)?d(x,y),x,y,z??。

它满足正定性，对称性和三角不等式。

在聚类分析中，对于定量变量，最常用的是Minkowski距离

p?q?dq(x,y)???xk?yk?,q?0

?k?1? 当q?1,2或q???，则分别得到

1） 绝对值距离

p1qd1(x,y)??xk?yk

k?1q2） 欧式距离

?2?d2(x,y)???xk?yk?

?k?1?3） Chebyshev距离

p12d?(x,y)?maxxk?yk

1?k?p最常

实验7 多元分析实验 1. 回归分析 解：（1） 根据题意，对数据利用R软件作出散点图 > x<-c(5.1,3.5,7.1,6.2,8.8,7.8,4.5,5.6,8.0,6.4)

> y<-c(1907,1287,2700,2373,3260,3000,1947,2273,3113,2493) > plot(x,y, xlab=\得到如下图像：

Y1500200025003000456X789

分析图像，数据点大致落在一条直线附近，说明变量x和y之间大致可看作线性关系，假定有如下结构式： y=β0+β1x+ε

其中β0和β1是未知常数，为回归系数，ε为其它随机因素对灌溉面积的影响，ε服从正态分布N(0,σ2)。

利用R软件进行一元线性回归分析，并提取相应的计算结果： > x<-c(5.1,3.5,7.1,6.2,8.8,7.8,4.5,5.6,8.0,6.4)

> y<-c(1907,1287,2700,2373,3260,3000,1947,2273,3113,2493) > lm.sol<-lm(y ~ 1+x) > summary(lm.sol) 得到如下结果： Call:

lm(formula = y ~ 1 + x)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-128.591 -70.978 -3.727 49.263

《空间统计分析与运筹》考试题A卷答案

1.地理数据标准化的常用方法有哪些？简述其中两类方法的基本原理。（10分）

2．推导多元非线性回归方程的回归系数（25分）

假设Y为因变量，Xi为自变量；Y的第j个样本值为yj(j?1,2,?,n)，

Xi(i?1,2)的第j个样本值为xij(j?1,2,?,n)，试用最小二乘法推导出多元非线

性回归模型

Y?b0?b1ln(X1)?b2ln(X2)?b3ln(X1)ln(X2)?b4[ln(X1)]?b5[ln(X2)]22

的回归系数b0,b1,b2,b3,b4,b5的计算公式和拟合优度（R2）的表达式（用矩阵运算表示）。

（1）令y=Y, x1=ln(X1), x2=ln(X2), x3=ln(X1)ln(X2), x4=[ln(X1)]2, x5=[ln(X2)]2 则回归方程（15分）

Y?b0?b1ln(X1)?b2ln(X2)?b3ln(X1)ln(X2)?b4[ln(X1)]?b5[ln(X2)]22（1）

可以转化为

y=b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5 （2）

（i?0,1,2,?,5）根据最小二乘法原理，回归方程系数b应该使 inn

多元复习

1、多元统计分析是运用数理统计方法来解决多指标问题的理论和方法。 2、多元分析研究的是多个随机变量及相关关系的统计总体。

3、如果A与B是两个P×P维的方阵，则AB与BA有完全相同的特征值。 4、随机向量X的协方差矩阵一定是非负定矩阵。

5、若A为P阶对称矩阵，则存在正交矩阵T与对角矩阵∧，则三者的关系有A=T∧T’。 6、设x是多元向量，服从正太分布即X～即a’x～

。

，a为P维常熟向量，则其线性型a’x服从一元正态分布，

7、方差相同的两个随机变量的差与和是不相关关系。

8、协方差和相关系数是变量间离散程度的一种变量，并不能刻画变量间可能存在的关联程度的关系。 9、变量的类型按尺度划分为间隔变量、有序变量、 名义变量类型。 10、公共因子方差与特殊因子方差之和为1。

11、聚类分析是建立一种分析方法，它将一批样品或变量按照它们在性质上的亲疏关系进行科学的分类。 12、聚类分析是分析如何对样品或变量进行量化分析，通常分为Q型聚类和R型聚类。 13、聚类分析中Q型聚类是对样品进行聚类，R型聚类是对变量进行聚类。

14、进行判别分析时，通常指定一种判别规则用来判定新样品的归属，常见的判别准则有：费希尔判别准

则、贝叶斯判别准则。 15、费

一、（10分）证明随机向量X协方差矩阵?为非负定矩阵.

二、（15分）设随机向量X的期望向量为E(X)?(5,?2,7)?，协方差矩阵

?412???V(X)??19?3?，

?2?325???Y1?X1?X2?X3,Y2?X1?X2,Y3?X1?2X2，求Y?(Y1,Y2,Y3)?的数学期望与协方差矩阵. 三、（10分）设X，Y是随机向量，A,B为常数矩阵，证明：cov(AX,BY)?Acov(X,Y)B?. 四、（10分）设随机向量X的协方差矩阵为

?16?43??? V(X)???44??2

?3?29???求其相关系数矩阵R.

?1?21?五、（10分）设X~N3(?,?),A???，其中

?110???16?42?????11?1?,????44?1??，

?2?14???求Y?AX的分布.

六、（15分）已知两个总体?1，?2的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，且总体的先验概率分布为p1?0.7,p2?0.3，误判损失为c(2|1)?200,c(1|2)?500. （1） 建立Bayes判别准则；

（2） 设有一新样品x0满足f1(x0)?6.3,f2(x0)?1，判定x0的归属问题. 七、（15分

合肥学院

2015－2016第二学期

《多元统计分析》课程论文

论文题目 方差分析

姓 名 郑宁

学 号 1307021001

专 业 数学与应用数学（1）

成 绩

2016.4

方差分析

——以南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度的相关数据为基础，建立方差分析模型进行分析。

摘要：单因素方差分析（ANOVA）是用来研究一个分类型自变量的不同水平对一个数值型因变量的影响。方差分析不仅可以提高检验的效率，而且可以提高检验的可靠性。本论文为了研究南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度有无显著性变化。根据假设检验的原理，运用SAS软件，以南极的3、6、9、12月各温度作为实验因素，建立方差分析模型，最后在给定的显著性水平下，判断出各实验因素之间有无显著性差异，从而得出实验因素之间的方差分析模型，即确定了南极的1951-1980的3、6、9、12月的温度之间有没有显著性变化。

关键词:方差分析模型 SAS软件

一、问题提出与分析

现有南极的1951-1980的3、6

多元统计分析

现实中的统计对象经常用多个指标来表示，比如人口普查，就可以有姓名、性别、出生年月日、籍贯、婚姻状况、民族、政治面貌、地区等，企业调查，可以有净资产、负债、盈利、职工人数、还贷情况等等。多个指标（变量）可以分别进行分析，但是，我们往往希望综合使用这些指标，这时，有主成分分析、因子分析等方法可以把数据的维数降低，同时又尽量不损失数据中的信息。 一、主成分分析

1、主成分分析的原理

多变量的主成分分析是在不损失或很少损失原有信息(指方差)的前提下，将原来多个彼此相关的指标转换为新的少数几个彼此独立的综合指标的一种统计分析方法。

多变量的主成分分析在教育评估中可用以寻找反映或影响评估对象的综合指标。如描述教师能力的指标很多：对教育对象的控制能力，对教育影响的控制能力，表达能力、教学思维能力、创新能力、组织协调能力等等。这些评估教师能力的指标个数可能很多，且指标之间彼此相关，多变量的主成分分析就是要综合这些指标，从而找出反映教师能力的少数几个彼此独立的指标，以便综合出教师能力的重要信息。

主成分分析的目的是从原始的多个变量取若干线性组合，能尽可能多地保留原始变量中

?的信息。从原始变量到新变量是一个正交变换（坐标变换）。设有

多元线性回归分析预测法

多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法）

目录 [隐藏] ? ? ? ? o 1 多元线性回归分析预测法概述 2 多元线性回归的计算模型[1] 3 多元线性回归模型的检验[1] 4 多元线性回归分析预测法案例分析 4.1 案例一:公路客货运输量多元线性回归预测方法探讨[2] ? ? 5 相关条目 6 参考文献 [编辑]

多元线性回归分析预测法概述

在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。

多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑]

多元线性回归的计算模型[1]

一元线性回归是一个主要影响因素作为

合肥学院

2015－2016第二学期

《多元统计分析》课程论文

论文题目 方差分析

姓 名 郑宁

学 号 1307021001

专 业 数学与应用数学（1）

成 绩

2016.4

方差分析

——以南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度的相关数据为基础，建立方差分析模型进行分析。

摘要：单因素方差分析（ANOVA）是用来研究一个分类型自变量的不同水平对一个数值型因变量的影响。方差分析不仅可以提高检验的效率，而且可以提高检验的可靠性。本论文为了研究南极的1951-1980的3、6、9、12月的各温度有无显著性变化。根据假设检验的原理，运用SAS软件，以南极的3、6、9、12月各温度作为实验因素，建立方差分析模型，最后在给定的显著性水平下，判断出各实验因素之间有无显著性差异，从而得出实验因素之间的方差分析模型，即确定了南极的1951-1980的3、6、9、12月的温度之间有没有显著性变化。

关键词:方差分析模型 SAS软件

一、问题提出与分析

现有南极的1951-1980的3、6

多元统计分析 multivariate statistical analysis 研究客观事物中多个变量（或多个因素）之间相互依赖的统计规律性。它的重要基础之一是多元正态分析。又称多元分析 。 如果每个个体有多个观测数据，或者从数学上说， 如果个体的观测数据能表为 P维欧几里得空间的点，那么这样的数据叫做多元数据，而分析多元数据的统计方法就叫做多元统计分析 。 它是数理统计学中的一个重要的分支学科。20世纪30年代，R.A.费希尔，H.霍特林，许宝?以及S.N.罗伊等人作出了一系列奠基性的工作，使多元统计分析在理论上得到迅速发展。50年代中期，随着电子计算机的发展和普及 ，多元统计分析在地质 、气象、生物、医学、图像处理、经济分析等许多领域得到了广泛的应用 ，同时也促进了理论的发展。各种统计软件包如SAS，SPSS等，使实际工作者利用多元统计分析方法解决实际问题更简单方便。重要的多元统计分析方法有：多重回归分析（简称回归分析）、判别分析、聚类分析、主成分分析、对应分析、因子分析、典型相关分析、多元方差分析等。 早在19世纪就出现了处理二维正态总体（见正态分布）的一些方法，但系统地处理多维概率分布总体的统计分析问题，则开始于20