错位数列求和教学设计及反思

教学设计

《数列求和》教学设计

四川省金堂中学校 杨 聪

【课例解析】

1、 教材的地位和作用

本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。

2、 学情分析

在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】

本节课的教学采用 “学力课堂”模式，分为“自学、互学、展学、导学、练学”五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。接下

数学是中职必修课程之一,对学生将来的就业和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一。等差数列的前项和公式则是等差数列中的一个重要公式。作者围绕《等差数列的前n项和公式(一)》这节课的教学设计说明,通过试讲及修改的全过程,谈谈在新课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。

.

_

等差数列求和公式的教学反思杜莹梅(苏省丰县中等专业学校，苏丰县江江摘要：学是中职必修课程之一，学生将来的就业数对和升学都起着极其重要的作用。而等差数列是中职数学研究的两个基本数列之一等差数列的前项和公式则是等差数列 中的一个重要公式。者围绕《差数列的前 n作等项和公式 ( )一》这节课的教学设计说明，过试讲及修改的全过程，谈在新通谈课程标准理念下对课堂教学设计的反恩和体会。 关键词：差数列求和公式公式推导教学反思等

210 ) 2 7 0

二、学重难点教 ( )学重点一教1究并获得等差数列的前n和公式： .探项 2等差数列前 n和公式的初步应用学难点。 .项 ( )学难点二教“尾配对法”推导方法。首一

高中阶段数学新课程标准要求教师从片面注重数学知识的传授转变到注重培养学生的数学思维。教师不仅要关注学习结果，而且要关注学生的数学学习过程。在教学过程

§6.4 数列求和

（时间：45分钟 满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

1*

1．在等比数列{an} (n∈N)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为( )

8

11

A．2－8 B．2－9 2211

C．2－10 D．2－11

222．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )

A．2＋n－1 C．2n＋1＋n2－2

n2

B．2

n＋1

＋n－1

2

D．2n＋n－2

3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于( ) A．126

B．130

C．132

D．134

4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )

A．200

B．－200 C．400

D．－400

5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为( )

1

A.n(n＋1)(n＋2) 61

C.n(n＋2)(n＋3) 3

1

B.n(n＋1)(2n＋1) 61

D.n(n＋1)(n＋2) 3

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60

数列及其数列求和

数

学

数列及其数列求和

专题1：数列及其数列求和

解读考纲

（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．

（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的问题．

重点、考点精读与点拨

一、基本知识

1．定义：

(1) .数列：按一定次序排序的一列数

(2) 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列

(3) 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一

个常数，则这个数列叫做等比数列

2． 通项公式与前n项和公式

{an}为等差数列： an a1 (n 1)d

{bn}为等比数列：

Sn na1

n(a1 an)n(n 1)d 22

bn b1q

n 1

(q 1)

a1(1 qn)a1 anq

（q 1) Sn

1 q1 q

3． 常用性质

{an}为等差数列，则有

数列及其数列求和

（1） 从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，an （2） an am (n m)d

an 1 an 1

（n

两位数加、减

两位数的口算 教学设计及教学反思

1、通过探究讨论，使学生构建两位数加减两位数的口算方法，并能运用方法正确口算。 2、经历解决口算问题的过程，体验解决问题策略的多样性。 3、在探索计算方法的过程中，培养勤于思考的学习品质及合作意识。 教学重点:两位数加减两位数的口算方法 教学难点:口算两位数加减两位数的算理 前置性学习问题设计:

1、认真阅读教材p30--p32的内容。 2、两位数加两位数的口算:

68 19= （你能想出几种口算方法？把你的口算方法具体写下来吧！） 3、两位数减两位数的口算:

68-19= （你能想出几种口算方法？把你的口算方法具体写下来吧！） 一、 导入新课

同学们，我们以前学习了两位数加减两位数的笔算，今天我们要用口算的方法来解决这一类题。

二、 探究新知

（一）、两位数加两位数的口算 1、白板出示算式68 19=

师:你能想出几种口算方法？让我们一起来交流一下！ 2、小组交流，老师指导。 3、学生汇报，教师板书。

算法一:68 19= 先算8 9=17，再算60 10=70，最后算70 17=87。

算法二:先算68 20=88，再算88-1=87。 学

数列--错位相减法

1.已知正项等差数列 an 的前n项和为Sn，若S3 12，且2a1,a2,a3 1成等比数列.

（Ⅰ）求 an 的通项公式； （Ⅱ）记bn

2.在数列{an}中，已知a1

an

的前n项和为Tn，求Tn. 3n

1an 11, ，bn 2 3log1an(n N*). 4an44

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{bn}是等差数列；

（3）设数列{cn}满足cn an bn，求 cn 的前n项和Sn.

3．已知数列 bn 前n项和Sn

321

n n.数列 an 满足an 4 (bn 2)(n N )，数列22

cn 满足cn anbn。

（1）求数列 an 和数列 bn 的通项公式； （2）求数列 cn 的前n项和Tn；

4. 设Sn为数列an 的前n项和，对任意的n N，都有Sn m 1 man(m为常数，

*

且m 0)．

（1）求证：数列an 是等比数列；

（2）设数列an 的公比q f m ，数列 bn 满足b1 2a1,bn f bn 1 (n 2，n N)，

*

求数列 bn 的通项公式；

2n 1

（3）在满足（2）的条件下，求数列 的前n项和Tn．

bn

1. 解：（Ⅰ）∵S3 12，即a1 a2 a

数列--错位相减法

1.已知正项等差数列 an 的前n项和为Sn，若S3 12，且2a1,a2,a3 1成等比数列.

（Ⅰ）求 an 的通项公式； （Ⅱ）记bn

2.在数列{an}中，已知a1

an

的前n项和为Tn，求Tn. 3n

1an 11, ，bn 2 3log1an(n N*). 4an44

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求证：数列{bn}是等差数列；

（3）设数列{cn}满足cn an bn，求 cn 的前n项和Sn.

3．已知数列 bn 前n项和Sn

321

n n.数列 an 满足an 4 (bn 2)(n N )，数列22

cn 满足cn anbn。

（1）求数列 an 和数列 bn 的通项公式； （2）求数列 cn 的前n项和Tn；

4. 设Sn为数列an 的前n项和，对任意的n N，都有Sn m 1 man(m为常数，

*

且m 0)．

（1）求证：数列an 是等比数列；

（2）设数列an 的公比q f m ，数列 bn 满足b1 2a1,bn f bn 1 (n 2，n N)，

*

求数列 bn 的通项公式；

2n 1

（3）在满足（2）的条件下，求数列 的前n项和Tn．

bn

1. 解：（Ⅰ）∵S3 12，即a1 a2 a

山东学大信息技术有限公司—分教管部制

Shandong Xueda Information Technology Co., Ltd.

数列裂项求和

一.裂项求和基本问题

1.求和：)

1(1541431321211+++?+?+?+?=n n S n 1

111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 。 2.求和：)12)(12(1971751531311+-++?+?+?+?=

n n S n 1

2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：)13)(23(11071741411+-++?+?+?=

n n S n 。 )1

31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 1

3)1311(31+=+-=n n n 。 4.求和：)2(1641531421311+++?+?+?+?=

n n S n 。 )1

111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-