北师大数学选修2-2

新版数学北师大版精品资料 第3课时 定积分的简单应用

1.会根据定积分的几何意义建立求简单平面图形面积的数学模型,并能利用积分公式表进行计算. 2.会根据定积分概念形成过程中的基本思想分析求简单旋转体的体积问题,建立它的数学模型,并能利用积分公式表进行计算.

3.通过积分方法解决实际问题的过程,体会到微积分把不同背景的问题统一到一起的巨大作用和实用价值.

实际生活中许多变量的变化是非均匀变化的,如非匀速直线运动在某时间段内位移;变力使物体沿直线方向移动某位移区间段内所做的功;非均匀线密度的细棒的质量等.所有这些问题都可以归结为曲边梯形的面积问题.

问题1:当x∈[a,b]时,若f(x)>0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积

S= .

问题2:当x∈[a,b]时,若f(x)<0,由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积

S= .

问题3:如图,当x∈[a,b]时,若f(x)>g(x)>0时,由直线x=a,x=b(a≠b)和曲线y=f(x),y=g(x)所围成的平面图形的面积S= .

问题4:旋转体可以看作是由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的几何体,则该旋转体的体

2019学年北师大版数学精品资料

演绎推理的三种类型

“特殊性存在于一般性之中”这个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种类型，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助． 一、显性三段论

在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的．也是演绎推理最为简单的应用． 例1 当a，b为正数时，求证：

a?b≥ab． 2 证明：因为一个实数的平方是非负数，

?aa?ba?bb? 而是一个实数的平方，所以?ab是非负数，即?ab??????22?2?2a?b?ab≥0． 22 所以，

a?b≥ab． 2 评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数”，小前提：“

a?ba?b，结论：“?ab是一个实数的平方”?ab是非负22数”，从而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，

变化率与导数

1.1.3导数的几何意义

变化率与导数

先来复习导数的概念定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx 0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记 f ( x0 )或y 即: , |x x 作 f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x0

变化率与导数

例1:设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' ( 1), f ' (2)思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有

f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 f ' ( x)= lim lim x 0 x 0 x x x(2 x x) lim 2x x 0 x

f ' ( 1)=f ' ( x) x 1 2 ( 1) 2 f ' (2) f ' ( x) x 2 2

北师大版高中数学选修2-2教案

§4 导数的四则运算法则 4．1 导数的加法与减法法则 4．2 导数的乘法与除法法则

(教师用书独具)

●三维目标 1．知识与技能

(1)引导学生发现两函数和、差、积、商的求导法则；

(2)运用两函数和、差、积、商的求导法则计算函数的导数． 2．过程与方法

通过对特殊的两个函数的和、差、积、商的导数与两函数导数的和、差、积、商的关系的探究学习，培养学生发现数学规律的方法与能力；通过法则的应用，提高学生化归转化的意识和能力．

3．情感、态度与价值观

(1)通过两函数和、差、积、商的求导法则的探索及推广，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探究归纳意识和能力；

(2)通过法则的应用实践，体会数学中“化繁为简”这一基本的解题策略，体会数学在认识世界、改变世界中的价值．

●重点难点

重点：和、差、积、商的求导法则的运用． 难点：法则的提出与推导． 教学时从具体实例出发，引导学生分析实例中函数的结构与基本初等函数的关系，并引导学生提出问题，然后利用导数的定义解决问题，从而从具体问题中化解难点，再通过对法则的适用，突出重点．

(教师用书独具)

●教学建议

本节内容安排在学生学习了导数的定义和基本初等

§4 数学归纳法(二)

一、基础过关

?n＋3??n＋4?

1． 用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝ (n∈N*)，验证n＝1时，左

2

边应取的项是 A．1

( )

B．1＋2 D．1＋2＋3＋4

C．1＋2＋3

2． 用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始

值n0应取 A．2 C．5

( )

B．3 D．6

111n＋

3． 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，证明不等式f(2n)>时，f(2k1)比f(2k)多的项数是

23n2

A．2k

－1

项

B．2k

＋1

项

C．2k项

D．以上都不对

4． 用数学归纳法证明不等式

11111

＋＋…＋>(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k

2n24n＋1n＋2

( )

＋1时，下列说法正确的是 1

A．增加了一项 2?k＋1?11

B．增加了两项和

2k＋12?k＋1?

1

C．增加了B中的两项，但又减少了一项 k＋11

D．增加了A中的一项，但又减少了一项

k＋1

5． 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an (n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4

后，可猜想Sn的表达式为________

新课程高中数学训练题组 选修2-2 Page 1 of 33

目录：数学选修2-2

第一章 导数及其应用 [基础训练A组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C组]

第二章 推理与证明 [基础训练A组] 第二章 推理与证明 [综合训练B组]

第二章 推理与证明 [提高训练C组]

第三章 复数 [基础训练A组] 第三章 复数 [综合训练B组] 第三章 复数 [提高训练C组]

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新课程高中数学训练题组 选修2-2 Page 2 of 33

（数学选修2-2）第一章 导数及其应用

[基础训练A组]

一、选择题

1．若函数y?f(x)在区间(a,b)内可导，且x0?(a,b)则limf(x0?h)?f(x0?h)h?0h

的值为（ ）

A．f'(x''0) B．2f(x0) C．?2f(x0) D．0

2．一个物体的运动方程为s?1?t?t2其中s的单位是米，t的单位是秒

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2021年高中数学第1章推理与证明（二）同步练习北师大版选修2-2 1. 根据下列图案中圆圈的排列规律，第xx个图案的组成情况是（）

●

◎

◎◎●◎●◎●●●●◎●◎●◎●

◎●

●◎

◎●

（1）（2）（3）（4）

A. 其中包括了个◎

B. 其中包括了个●

C. 其中包括了个◎

D. 其中包括了个●

2. 观察表中数据的规律，右下角应填入的数是（）

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A. 128

B. 256

C. 512

D. 1024

3. 实数的乘积运算和向量的数量积运算类比中不成立的运算率是（）

A. 类比

B. 类比

C. 类比

D. 类比

4. 已知函数，则与的大小关系为（）

A. 没有一个小于1

B. 至多有一个不小于1

C. 都不小于1

D. 至少有一个不小于1

5. 数列中，，设，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

6. 命题“若函数对于定义域R内任意实数都有，且对于任意，恒有

成立，则对于任意都有成立”，用反证法证明时，结论的否定是（）

A. 存在，有

B. 任意，有

C. 任意，有

D. 存在，有

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7. 用数学归纳法证明不等式：)2,(1

2131211*≥∈<-++++

n N n n n 时，从“”到“”需要增添的项

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2021年高中数学第1章推理与证明（二）同步练习北师大版选修2-2 1. 根据下列图案中圆圈的排列规律，第xx个图案的组成情况是（）

●

◎

◎◎●◎●◎●●●●◎●◎●◎●

◎●

●◎

◎●

（1）（2）（3）（4）

A. 其中包括了个◎

B. 其中包括了个●

C. 其中包括了个◎

D. 其中包括了个●

2. 观察表中数据的规律，右下角应填入的数是（）

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A. 128

B. 256

C. 512

D. 1024

3. 实数的乘积运算和向量的数量积运算类比中不成立的运算率是（）

A. 类比

B. 类比

C. 类比

D. 类比

4. 已知函数，则与的大小关系为（）

A. 没有一个小于1

B. 至多有一个不小于1

C. 都不小于1

D. 至少有一个不小于1

5. 数列中，，设，则下列结论正确的是（）

A. B.

C. D.

6. 命题“若函数对于定义域R内任意实数都有，且对于任意，恒有

成立，则对于任意都有成立”，用反证法证明时，结论的否定是（）

A. 存在，有

B. 任意，有

C. 任意，有

D. 存在，有

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7. 用数学归纳法证明不等式：)2,(1

2131211*≥∈<-++++

n N n n n 时，从“”到“”需要增添的项

2019学年北师大版数学精品资料

综合法和分析法的应用

一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

二、教学重点：会用分析法和综合法证明问题；了解分析法和综合法的思考过程。

教学难点：根据问题的特点，结合分析法和综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。

三、教学方法： 探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习准备

1、已知 “若a1,a2?R?，且a1?a2?1，则

11??4”，试请此结论推广猜想。 a1a2111??....?? n2） a1a2an（答案：若a1,a2.......an?R?，且a1?a2?....?an?1，则

1a1b1c2、已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求证：???9.

先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 3、讨论：如何证明基本不等式

a?b?ab(a?0,b?0)。 2 （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

（二）、探析新课 1. 探析例题

① 出示例1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) +

c(a2 + b2) >

北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案

1

反馈?由羞达标

1. 一物体的运动方程是 s = 3 +『，则在一小段时间［2,

2.1］内相应的平均速度为(

) A . 0.41

B . 3

C . 4

D . 4.1 解

析：

2 2 2 2 A s (3+ 2.1 — (

3 + 2 L 2.1 — 2 A t _ 2.1 — 2 — 0.1

答案：D

2.

设函数y = f(x) = x 2— 1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为(

)

A . 2.1

C . 2

解析： A y _ yn —fU L 0.21 _ 21

A x 1.1 — 1

0.1 答案：A

3.

—直线运动的物体，从时间 t 到t + A t 时，物体的位移为

?，那么A t 趋于0时，号 为()

A .从时间t 到t + A t 时物体的平均速度

B .在t 时刻物体的瞬时速度

C .当时间为A t 时物体的速度

D .在时间t + A t 时物体的瞬时速度 A s

解析：普中A t 趋于0时得到的数值是物体在 t 时刻的瞬时速度. A t

答案：B

1

4. ________________________________________________________ 质