中考数学三角形压轴题

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

35.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－3)，且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：

①点P的坐标； ②△PAC的周长和面积；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a(x －4)2－3(a≠0)，且A(x1，0)，B(x2，0)． ∵y＝a(x －4)2－3＝ax 2－8ax＋16a－3 ∴x1＋x2＝8，x1x2＝16－

3． a33)＝36，∴a＝． a9∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝82－4(16－

∴二次函数的解析式为y＝

3(x －4)2－3． ······················································· 2分 9（2）①如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′C交y轴于点P，连结PA，则点P为所求． 令y＝0，得

3(x －4)2－3＝0，解得x1＝1，x2＝7． 9∴A(1，0)，B(7，0)．∴OA＝1，∴OA′＝

三角形的有关概念

【考点链接】

三角形中的主要线段：

1．___________________________________叫三角形的中位线． 2．中位线的性质：____________________________________________． 3．三角形的中线、高线、角平分线都是____________．(线段、射线、直线) 4.三角形的内角和为180，外角和为360， 5.三角形的外角等于与他不相邻的两内角之和

【典例精析】

例1 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°． 求∠DAC的度数．

A

1

B234

例2 如图，已知D 、E分别是△ABC的边BC和边AC的中点，连接DE、AD，

若S△ABC＝24cm2,求△DEC的面积.

例3 如图，在等腰三角形ACB中，AC?BC?5，AB?8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），

DE?AC，DF?BC，垂足分别为E，F，求DE?DF的长．

AEBDCDC

提示：面积法

【中考演练】

1．在△ABC中，若∠A＝∠C＝

13CEADFB

∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，这个三角形是

标准实用

中考数学压轴题全面突破之四?三角形的存在性

题型特点

三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算． 解题思路

①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系； ②分类讨论，画图； ③建等式，对结果验证取舍．

对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．

②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．

③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题． 难点拆解

①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线

k1；

②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；

③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．

④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．

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标准实用

中考数学压轴题全面突破之四?三角形的存在性

题型特点

三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算． 解题思路

①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系； ②分类讨论，画图； ③建等式，对结果验证取舍．

对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为： ①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．

②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．

③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题． 难点拆解

①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线

k1；

②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；

③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．

④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．

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儒洋教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 年 级： 课时数： 辅导科目： 学科教师： 课 题 授课时间： 教学目标 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段：

（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质

（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180°

（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。

4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则三角形、等腰三角形以及全等三角形的证明 备课时间： S?ABE?S?CDE?S

庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：今一人言市有虎，王信之乎？王曰：否。二人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人疑之矣。三人言市有虎，王信之乎？王曰：寡人信之矣。庞葱曰：夫市之无虎明矣，然而三人言而成虎。

【全国通用】中考数学总复习第20讲三角形与全等三角形

一、选择题(每小题6分，共24分)

1．(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(C)

A．45°B．54°C．40°D．50°,第1题图),第2题图)

2．(2013·衡阳)如图，∠1＝100°，∠C＝70°，则∠A的大小是(C)

A．10°B．20°C．30°D．80°3．(2012·南通)如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝(B)

A．360°B．250°C．180°D．140°,第3题图),第4题图)

4．(2014·威海)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的

延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是(B)

A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55

1、若

x24x?3y=______; ?，则

y32x?y2、若x:y:z?2:3:5，x?y?z?50，则2x?y?z? 。

3、如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列命题，①AB2?AP?PB，②BP2?AP?AB，③AP2=PB·AB，④AP:AB?PB:AP，其中正确的是 (填序号)。

4、两个相似三角形的一对对应边分别为20cm，8cm，他们的周长相差60cm ,则这两个三角形的周长为_______________, _______________.

o

5、如右图，△ABC中∠ACB＝90，CD⊥AB于D。 则图中能够相似的三角形共有( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

6. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E,若AD：BD = 4：3，

则S△ADE：Ｓ四边形 BCED＝______________. A D

7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，

S?AOD:S?COB?1:9，则S?DOC:S?BOC＝

B

O C

第7题

8、如图，矩形EFGH内接于△ABC

中考数学三角形习题及

解析

Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-

三角形题目与解析

例1、有5根木条，其中2根完全相同，它们的长为8cm，另外3根分别长4cm，10cm和12cm，用其中的3根组成一个三角形，问：可组成多少个三角形

解：将这5根木条从短到长依次排列为4，8，8，10，12（单位：cm）

∵要组成一个三角形的三条边必须满足任意的两条边之和大于第三边长，∴运用枚举法可知，能组成一个三角形的三条木条为（4，8，8），（4，8，10），（4，8，12），（8，8，10），（8，8，12），和（8，10，12）共六种情况，∴可组成六个不同的三角形。

例2、如图的△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD 的平分线交于点A2，……，依次类推，设∠A4BC与∠A4CD的平分线交于点A5，求∠A5的大小。

解：从特殊到一般地去思考，去寻找规律。

∵A1B，A1C分别平分∠ABC与∠ACD

∴∠A=∠ACD－∠ABC=2（∠A1CD－∠A1BC）=2∠A1

∴∠A1=2

1

∠A

同理，可证得，作

4

5

2

3

1

2

A

2

1

A

A

2

1

A

A

2

1

A∠

=

∠

∴

∠

=

∠

∠

=

∠，

，

∴∠A5

?

=

?

1、若

x24x?3y=______; ?，则

y32x?y2、若x:y:z?2:3:5，x?y?z?50，则2x?y?z? 。

3、如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP>PB，则下列命题，①AB2?AP?PB，②BP2?AP?AB，③AP2=PB·AB，④AP:AB?PB:AP，其中正确的是 (填序号)。

4、两个相似三角形的一对对应边分别为20cm，8cm，他们的周长相差60cm ,则这两个三角形的周长为_______________, _______________.

o

5、如右图，△ABC中∠ACB＝90，CD⊥AB于D。 则图中能够相似的三角形共有( )

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

6. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E,若AD：BD = 4：3，

则S△ADE：Ｓ四边形 BCED＝______________. A D

7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，

S?AOD:S?COB?1:9，则S?DOC:S?BOC＝

B

O C

第7题

8、如图，矩形EFGH内接于△ABC