利用改进的Euler方法求解初值问题(取h=0.2)

《计算机数学基础(2)》辅导六

第14章 常微分方程的数值解法

一、重点内容 1. 欧拉公式：

(k＝0，1，2，…，n－1)

局部截断误差是O(h2)。 2. 改进欧拉公式：

或表示成： 平均形式：

局部截断误差是O(h)。

3. 四阶龙格――库塔法公式：

3

0.5

其中 ?1＝f(xk，yk)；?2＝f(xk+h，yk+

0.5

h?1)；?3＝f(xk+

0.5

h，yk+

0.5

h?2)；

?4＝f(xk+h，yk+h?3)

局部截断误差是O(h5)。

二、实例

例1 用欧拉法解初值问题

取步长h＝0.2。计算过程保留4位小数。

解 h＝0.2，f(x，y)＝－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式

＝0.2yk(4－xkyk) (k＝0，1，2) 当k＝0，x1＝0.2时，已知x0＝0，y0＝1，有

y(0.2)≈y1＝0.2×1(4－0×1)＝0.8

当k＝1，x2＝0.4时，已知x1＝0.2，y1＝0.8，有

y(0.4)≈y2＝0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.6144

当k＝2，x3＝0.6时，已知x2＝0.4，y2＝0.6144，有

《计算方法》实验指导书

《计算方法》实验指导书

实验1 方程求根

一、实验目的

1． 通过对二分法、牛顿法、割线法作编程练习，进一步体会它们各自不同的特点； 2． 了解二分法，切线法，割线法。

3． 能熟练运用二分法，牛顿法进行方程求根

4． 通过上机调试运行，对方程求根的几种方法程序进行改进。

二、实验要求

1． 上机前作好充分准备，包括复习编程所需要的语言工具。 2． 上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备。

3． 记录调试过程及结果，记录并比较与手工运算结果的异同。 4． 程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果。 5． 给出本章实验单元的实验报告。

三、实验环境、设备

1． 硬件设备：IBM PC以上计算

机，有硬盘和一个软驱、单机和网络环境均可。

2． 软件环境： C语言运行环境。

四、实验原理、方法 二分算法计算步骤：

（1）输入有根区间的端点a、b及预先给定的精度ε；

（2）计算中点x=(a+b)/2；

（3）若f(x)f(b)<0，则a=x，转向下一步；否则b=x，转向下一步； （4）若b-a<ε，则输出方程满足精度要求的根x，结束；否则转向步骤（2）。 迭代法：

256

《计算方法》实验指导书

开始 输入 x0, ε,N k=1 开始 输入x0, ?,N k=1 f'(x0)=0? 是 k=k+1 x1=?(x0) 是 否 x?x?10f(x)

《计算方法》实验指导书

《计算方法》实验指导书

实验1 方程求根

一、实验目的

1． 通过对二分法、牛顿法、割线法作编程练习，进一步体会它们各自不同的特点； 2． 了解二分法，切线法，割线法。

3． 能熟练运用二分法，牛顿法进行方程求根

4． 通过上机调试运行，对方程求根的几种方法程序进行改进。

二、实验要求

1． 上机前作好充分准备，包括复习编程所需要的语言工具。 2． 上机时要遵守实验室的规章制度，爱护实验设备。

3． 记录调试过程及结果，记录并比较与手工运算结果的异同。 4． 程序调试完后，须由实验辅导教师在机器上检查运行结果。 5． 给出本章实验单元的实验报告。

三、实验环境、设备

1． 硬件设备：IBM PC以上计算

机，有硬盘和一个软驱、单机和网络环境均可。

2． 软件环境： C语言运行环境。

四、实验原理、方法 二分算法计算步骤：

（1）输入有根区间的端点a、b及预先给定的精度ε；

（2）计算中点x=(a+b)/2；

（3）若f(x)f(b)<0，则a=x，转向下一步；否则b=x，转向下一步； （4）若b-a<ε，则输出方程满足精度要求的根x，结束；否则转向步骤（2）。 迭代法：

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《计算方法》实验指导书

开始 输入 x0, ε,N k=1 开始 输入x0, ?,N k=1 f'(x0)=0? 是 k=k+1 x1=?(x0) 是 否 x?x?10f(x)

常微分方程初值问题数值解法

朱欲辉

（浙江海洋学院 数理信息学院, 浙江 舟山 316004）

[摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法. 然而在生产实际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点.

[关键词]：常微分方程; 初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计

Numerical Method for Initial-Value Problems

Zhu Yuhui

(School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004)

[Abstract]: In the course abo

数值分析第五章课件

第5章 常微分方程数值解法§5.1 引言 u( x1 , , xn ) y ' x y y包含自变量、未知函数及未知函数的导数或微 ( x) : 2 2 u u y (0) 1 2 0 2 , x1 自变量的 xn 分的方程称为微分方程.在微分方程中 个数只有一个, 称为常微分方程.自变量的个数为 两个或两个以上的微分方程叫偏微分方程.微分方 程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方

程的阶数.如果未知函数y及其各阶导数

y , y , , y

( n)

都是一次的,则称它是线性的,否则称为非线性的.

数值分析第五章课件

在《常微分方程》中，对于常微分方程的求解，给出了一些典型方程求解析解的基本方法，如可分

离变量法、常系数齐次线性方程的解法、常系数非齐次线性方程的解法等.但能求解的常微分方程仍 然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解 析解. 譬如

y x y2

2

这个一阶微分方程就不能用初等函数及其积分来 表达它的解.

数值分析第五章课件

再如，方程

y y y (0) 1的解 y e x ,虽然有表可查,但对于表上没 有给出 e x 的值,仍

第7章 常微分方程初值问题的数值解法

7.1 引 言

科学研究和工程技术中的许多问题在数学上往往归结为微分方程的求解问题。为了确定微分方程的解，一般要加上定解条件，根据不同的情况，这些定解条件主要有初始条件(initial condition)和边界条件(boundary condition). 只含初始条件作为定解条件的微分方程求解问题称为初值问题(initial-value problem); 例如天文学中研究星体运动,空间技术中研究物体飞行等，都需要求解常微分方程初值问题(initial-value problem for ordinary differential equations). 只含边界条件作为定解条件的微分方程求解问题称为边值问题(boundary-value problem).

除特殊情形外，微分方程一般求不出解析解，即使有的能求出解析解，其函数表示式也比较复杂，计算量比较大，而且实际问题往往只要求在某一时刻解的函数值. 为了解决这个问题，有两种方法可以逼近原方程的解。第一种方法是：将原微分方程化简为可以准确求解的微分方程，然后使用化简后的方程的解近似原方程的解；第二种方法是：将求原微分方程的解析解转化为求原方程的数

数值分析教学课件

第三章 常微分方初值程问数题解法值3.1引 言 3. 2简的数单方值法与本概基念

3.3 格-库龙方塔法.4 单步3法收的性敛稳与性定

.53 性线多步法36.方 程组高阶和方

程3

数值分析教学课件

.1引 言章本论一阶常微分讨方程初值的题问： y f( x ,y ) y x(0 ) y 0只要数函 f x,( y )当光适—如滑满足利普茨希条件：f x( ,y) f ( ,xy ) Ly y

论理就上保证能值问题的解 y初 y( x )存 在并且唯一。所 谓数值法解就，寻求解是 y(x) 在 系一列散离点x1 x2 xn xn 1

上的近 值 y 似, , , yy ,y , ,相两个点间邻距的离h xx 称为步 长一。情般下我况取们h h i( 1, , 2)为 数常，是节点这： x 为 x n, hn 0 ,1 2, ,1 2 nn n1n 1 n in

数值分析教学课件

3.1 0言引初值题问的解求一有基个特点，本们都是它取 采“进式步”求解，的，一即步一地求函步数值。 求的的解主方法要：是对方程进行离散化先，立

求解平衡问题的方法技巧

一、“滑轮”模型

1.如图1所示，杆BC的B端用铰链接在竖直墙上，另一端C为一滑轮．重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡．若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则( )．

图1

A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大 B．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大 C．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小 D．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变

2．如图2所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体，∠ACB＝30°，g取10 m/s2，求：

图2 图3 (1)轻绳AC段的张力FAC的大小； (2)横梁BC对C端的支持力大小及方向．

3．若上题中横梁BC换为水平轻杆，且B端用铰链固定在竖直墙上，如图3所示，轻绳AD拴接在C端，求： (1)轻绳AC段的张力FAC的大小； (2)轻杆BC对C端的支持力．

二、含弹簧的平衡问题

4．(单选)如图4所示，A、B两物体叠放在水平地面上，A物体质量m＝20 kg，B物体质量M＝30 kg.处于水平位置的轻弹簧一端固定于墙壁，另

一端与A物体相

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改进遗传算法求解VRP问题

作者：梁佳成

来源：《科技创新导报》2012年第36期

摘 要：用遗传算法（GA）求解车辆路径问题，但总体上他们所得解的质量都不高，这是由GA本身局部搜索能力不强所致.针对GA这一缺陷，该文对标准遗传算法改进，用于求解VRP问题，并通过实验计算证明了该算法具有良好的寻优性能。 关键词：改进遗传算法 VRP 忳能

中图分类号：U491.2 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2012）12（c）-0-01 1 VRP数学模型的建立

问题描述如下：1个物流中心和个客户，第k个客户需运输的货物量为，物流中心派出多辆货车，从物流中心将个客户的所有货物运出，求满足货运需求的最短距离车辆运输行程路线。设物流中心派出m辆货车，每辆货车的载重量为q，且q>gi，表示点i到点j的运输成本，物流中心的编号为0，各客户的编号为，另外几个变量定义如下： 货车s由i驶向j；点i的货运任务由s货车完成

由这些参数和变量可以求出VRP问题的数学模型表示为：

利用Excel求解线性规划问题

线性规划问题的求解有很多方法，也有很多工具。比如常用的Matlab、Lingo，记得参加数学建模的时候就是用的Lingo解决线性规划问题的。本文主要讲解如何使用Excel求解线性规划问题，Excel本身是没有计算线性规划问题能力的，因此我们首先要加载相应的宏定义。一、加载宏定义（不同版本的加载方式有所不同）： Excel 2003：单击“工具”菜单，然后单击“加载宏”，选择“规划求解”点击确定。 Excel 2007：方法一：用快捷键。先按Alt+T，再按I键，即可打开加载宏对话框。方法二：单击“Office按钮→Excel 选项→加载项”，确保“管理”右侧下拉列表中的选项是“Excel 加载项”，单击“转到”按钮即可。 Excel 2010：直接在功能区中选择“开发工具”选项卡，在“加载项”组中单击“加载项”命令，选择“规划求解”点击确定。注意：如果功能区中没有“开发工具”选项卡，可以通过自定义功能区来显示“开发工具”选项卡：单击“文件→选项→自定义功能区”，然后在右侧区域中勾选“开发工具”并单击“确定”。二、初始化数据（以Excel 2010为例，其他版本大同小异）：比如

我们要计算的线性规划问题如下：那么，