高中数学正弦余弦定理公式

1.3 正弦定理、余弦定理的应用

1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点) 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)

3．方向角与方位角的区分及应用．(易混点)

[基础·初探]

教材整理 方位角

阅读教材P18例2的有关内容，完成下列问题． 方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方位角和方向角是同一个概念．( )

(2)从A处望B处的仰角为 α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.( ) (3)从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，则∠ACB为75°.( ) (4)甲看乙南偏东30°，则乙看甲北偏西30°.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：__________________________

1.3 正弦定理、余弦定理的应用

1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点) 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点)

3．方向角与方位角的区分及应用．(易混点)

[基础·初探]

教材整理 方位角

阅读教材P18例2的有关内容，完成下列问题． 方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方位角和方向角是同一个概念．( )

(2)从A处望B处的仰角为 α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.( ) (3)从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，则∠ACB为75°.( ) (4)甲看乙南偏东30°，则乙看甲北偏西30°.( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：__________________________

正弦定理 余弦定理

一、一周知识概述

本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形

中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何

一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况． 二、重点知识讲解 1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有 （1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°； （2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 射影定理：a＝bcosC＋ccosB b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝( )

A．52

106 3

2、在 ABC中，已知b B．2 D．6 2,c 1,B 45 ，则a=（ ）

2 1 D. 3 2 A. 6 2 B. 26 2 C. 2

3、在 ABC中，若a 2bsinA，则B= （ ）

A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120

2224、在 ABC中，已知a c b ab，则 C （ ）

A. 60 B. 45或135 C. 120 D. 30

5、在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等边三角形 D．等腰三角形

6、在 ABC中，a:b:c 3:5:7，则 ABC的最大角是 （ ）

A. 30 B. 60 C. 90 D. 120

37．在△ABC中，已知B＝45°，c＝2，b＝，则

4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形

建构知识网络

1．三角形基本公式：

（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,

CA?BCA?B=sin, sin=cos

2222111（2）面积公式：S=absinC=bcsinA=casinB

222a?b?cS= pr =p(p?a)(p?b)(p?c) (其中p=, r为内切圆半径)

2cos

（3）射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA 2．正弦定理：

abc???2R外 sinAsinBsinC证明：由三角形面积

111absinC?bcsinA?acsinB 222abc??得 sinAsinBsinCabc???2R 画出三角形的外接圆及直径易得：

sinAsinBsinCS?b2?c2?a23．余弦定理：a=b+c-2bccosA, cosA?；

2bc2

2

2

证明：如图ΔABC中，

CbaCH?bsinA,AH?bcosA,BH?c?bcosA

a2?CH2?BH2?b2sin2A?(c?bcosA)2?b?c?2bccosA22

AHcB当A、B是

正弦定理、余弦定理

基础练习

1．在△ABC中：

（1）已知A?45?、B?30?、a?53，求b；

（2）已知B?75?、C?45?、a?6，求c． 2．在△ABC中（角度精确到1°）：

（1）已知b?15、c＝7、B＝60°，求C； （2）已知a?6、b＝7、A＝50°，求B． 3．在△ABC中（结果保留两个有效数字）： （1）已知a＝5、b＝7、C＝120°，求c；

（2）已知b?33、c＝7、A＝30°，求a． 4．在△ABC中（角度精确到1°）： （1）已知a?6、b＝7、c?9，求A； （2）已知a?33、b?4、c?79，求C．

5．根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1）： （1）A?37?，B?60?，a?5； （2）A?40?，B?45?，c?7； （3）B?49?，a?5，b?3； （4）C＝20 ，a＝5，c＝3； （5）a?4，b?7，C?80?； （6）a?10，b?13，c?14． 6．选择题：

（1）在△ABC中，下面等式成立的是（ ）．

A．abcosC?bccosA B．absin

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

必修5 正弦定理、余弦定理

二、教学目标

（1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

（2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析

1、正弦定理的有关知识（设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R ） 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，

由正弦定理得（i ）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++

（ii ）::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式

（1）1,(2a a S a h h a =

?是边上高）（h a 是a 边上的高）（2）111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。 （3） 1(),(2S a b c r r =++?是内切圆半径） 3、余弦定理的有关知识。（设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

必修5 正弦定理、余弦定理

二、教学目标

（1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

（2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析

1、正弦定理的有关知识（设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R ） 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，

由正弦定理得（i ）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++

（ii ）::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式

（1）1,(2a a S a h h a =

?是边上高）（h a 是a 边上的高）（2）111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。 （3） 1(),(2S a b c r r =++?是内切圆半径） 3、余弦定理的有关知识。（设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所

苏教版高中数学 正弦定理和余弦定理的应用

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教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断 教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。

1、 与实际应用问题有关的名词、术语

①铅直平面：与水平面垂直的平面 ②坡角：坡面与水平面的夹角

③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比

④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 ⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 ⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角

⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于90

⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 2、 解三角形应用问题步骤

（1） 准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词

[学习目标] 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．

知识点一 正弦定理及其变形

1.a sin A ＝b sin B ＝c sin C

＝2R ． 2．a ＝2R sin__A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ．(化角为边)

3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R

．(化边为角) 知识点二 余弦定理及其推论

1．a 2＝b 2＋c 2

－2bc cos__A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ．(边角互化) 2．在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2?C 为直角，c 2>a 2＋b 2?C 为钝角；c 2

知识点四 三角形内的角的函数关系

在△ABC 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则有

(1)sin(A ＋B )＝sin__C ，cos(A ＋B )＝－cos__C ，tan(A ＋B )＝－tan__C ，

(2)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2

．

题型一 利用正弦、余弦定理解三角形或求值

例1 在