分段函数单调性例题及解析

2.1.3函数的单调性（学案）

开封二十五中学 唐红星 一、三维目标

（一）、知识与技能

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 （二）、过程与方法

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （三）情感态度与价值观

通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学习数学的自信心。

二、教学重点

领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。

三、教学难点

利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007

年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:

请回答下列问题：

1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ？ 2.在某时刻的温度？ 3.什么时段温度持续升高(降低)？

引例2、画出函数 y=x,

函数的单调性说课稿

发布:佚名 时间:2008-12-23 10:37:00 来源:京翰教育中心 录入:行者 人气:4566

【文字：大 小】

函数的单调性说课稿

一、教学内容的分析

1．教材的地位和作用

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其

2.1.3函数的单调性（学案）

开封二十五中学 唐红星 一、三维目标

（一）、知识与技能

1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性； 2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。 （二）、过程与方法

通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 （三）情感态度与价值观

通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学习数学的自信心。

二、教学重点

领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。

三、教学难点

利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性。

四、教学过程

（一）创设情景，引入新课

引例1、为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况,数学小组研究了2002年到2007

年每年这一天的天气情况,如图是北京市2007年8月8日一天24小时内气温随时间的变化曲线图:

请回答下列问题：

1.当天的最高(最低)气温出现的时刻 ？ 2.在某时刻的温度？ 3.什么时段温度持续升高(降低)？

引例2、画出函数 y=x,

　　函数的单调性是高中数学教材中的重要内容，应深刻理解单调性的概念及定义的内涵、性质。现就笔者在教学中遇到的问题加以归纳，希望对广大中学生朋友们有所帮助。

　　高中数学第一册(上) P：63-64页(人教社、2006年11月第2版)

　　一般地：设函数f(x)的定义域为Ⅰ：

　　如果对于属于定义域Ⅰ内的某个区间上的任意两个自变量的值 ， ，当 < 时，都有f( )<f( )，那么就说f(x)在这个区间上是增函数;如果对于属于定义域Ⅰ内某个区间的任意两个自变量的值 ， ，当 < 时，都有f( )>f( )，那么就说在这个区间上是减函数。

　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间。

　　对函数的单调性定义的理解，应掌握以下几点：

　　① 单调性是函数在某一区间上的整体性质，定义中的 、 在这一区间内具有任意性，证明时不可用特殊值代替。函数的单调性是函数在其定义域上的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

　　② 函数的单调性只能在定义域内讨论，且谈函数的单调性时必须指明对应的区间。函数的单调区间一定是其定

函数的单调性说课稿

发布:佚名 时间:2008-12-23 10:37:00 来源:京翰教育中心 录入:行者 人气:4566

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函数的单调性说课稿

一、教学内容的分析

1．教材的地位和作用

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其

函数的单调性说课稿

发布:佚名 时间:2008-12-23 10:37:00 来源:京翰教育中心 录入:行者 人气:4566

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函数的单调性说课稿

一、教学内容的分析

1．教材的地位和作用

首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．

其次，从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.

最后，从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等其

分段函数常见题型例析

所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：

１．求分段函数的定义域、值域

例１．求函数)(x f ＝?????->-≤+)2(,2

)2(,42x x x x x 的值域．

解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．

当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2

2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．

２．作分段函数的图象

例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-??=+∈-??∈+∞?

，，，，

，，，画函数(

f x 解：函数图象如图１所示．

评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，

作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出

其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；

二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值

例３．

函数的单调性（教学设计）

一、本节内容在教材中的地位与作用：

《函数的单调性》系人教版高中数学必修一的内容，该内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性．这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高．这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的．教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系．函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。 二、学情、教法分析：

按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几

函数单调性练习题

函数单调性练习题

1. （1）已知函数f(x)＝x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a

2

的取值范围是 .

（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是 .

（3）已知x∈[0，1]，则函数 y 2x 的最大值为_______最小值为 2 x_________

2.讨论函数f(x)＝

ax1 x

2

(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.

ax11 x1

2

解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝-

ax21 x2

2

＝

a(x1 x2)(1 x1x2)(1 x)(1 x)

21

22

∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0 于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).

故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.

3

3.判断函数f(x)=－x+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？

函数单调性练习题

函数单调性练习题

1. （1）已知函数f(x)＝x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a

2

的取值范围是 .

（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是 .

（3）已知x∈[0，1]，则函数 y 2x 的最大值为_______最小值为 2 x_________

2.讨论函数f(x)＝

ax1 x

2

(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.

ax11 x1

2

解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝-

ax21 x2

2

＝

a(x1 x2)(1 x1x2)(1 x)(1 x)

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∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0 于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).

故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.

3

3.判断函数f(x)=－x+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？