抽象函数特殊函数模型

§2.8 函数模型及其应用 基础知识要点梳理1.三种增长型函数模型的图象与性质 性 函 数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) _______ 增函数 y=xn (n>0) ________ 增函数

自主学习

质 在(0,+∞)上 ________ 增函数 的增减性

增长速度

越来越快 越来越慢 相对平稳 ________ ________

随x增大逐渐 随x增大逐 随n值变 表现为与 渐表现为与 化而不同 图象的变化 x轴 ______平行 ______平行 y轴2.三种增长型函数之间增长速度的比较

(1)指数函数y=ax (a>1)与幂函数y=xn (n>0)在区间(0,+∞),无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn,但由于y=ax的增长速度_____y=xn 快于 的增长速度,因而总存在一个x0,当x>x0时有_______. ax>xn

(2)对数函数y=logax (a>1)与幂函数y=xn (n>0)

对数函数y=logax (a>1)的增长速度，不论a与n值的大小如何总会______y=xn的增长速度,因而在定义域 慢于 logax

函数模型及其应用（2）

教学目标：让学生体会函数拟合的意义，会用信息进行数据处理。 教学重点：根据已知条件建立函数关系式。 教学过程：

一、问题情境：

假如你有一笔资金用于投资，投资时间10个月，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案1 每月回报300元；

方案2 第一月回报100元，以后每月比前一有多回报50元。 方案3 第一月回报5元，以后每月的回报比前一月翻一番。 如果不计利息，你会选择哪种投资方案？

二、生活动与数学应用

【例1】芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：

时间/t 种植成本/Q 50 150 2 110 108 t 250 150 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at+bt+c，Q=a·b，Q=alogbt； （2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本。

函数模型及其应用（2）

教学目标：让学生体会函数拟合的意义，会用信息进行数据处理。 教学重点：根据已知条件建立函数关系式。 教学过程：

一、问题情境：

假如你有一笔资金用于投资，投资时间10个月，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案1 每月回报300元；

方案2 第一月回报100元，以后每月比前一有多回报50元。 方案3 第一月回报5元，以后每月的回报比前一月翻一番。 如果不计利息，你会选择哪种投资方案？

二、生活动与数学应用

【例1】芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场。某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：

时间/t 种植成本/Q 50 150 2 110 108 t 250 150 （1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at+bt+c，Q=a·b，Q=alogbt； （2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本。

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

说明：本套试题为选择题专项（样稿）

共25道试题，每道试题由试题、答案、解析、技巧心得四部分构成，做题老师必须保证解析部分知识点正确无误、能够举一反三、触类旁通、文字工整、符号准确、图片清楚、语言通顺、解析深刻、不能在已有试题上更改，试题完成时间为5天，提前做完可以提前发送至负责人处，等待审核通过后统一发放工资。

1

题型：选择题，难度：容易

标题/来源：2011-2012学年贵州省遵义四中高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】已知函数，则=\（ \）

A．-4 B．4 C．8 D．-8 【答案】B

【解析】本题是对分段函数的考察。做这种题应先对函数的层次性进行分析，认清所求函数是几个层次的。再认清分段域，和所对应函数式。 本题所求函数只有一个层次，变量x为-2，在分段域X＜0中,所对应函数式为x2,则把-2代入,得(-2) 2=4. 2

题型：选择题，难度：较易

标题/来源：2011-2012学年浙江省温州市直六校高一上学期期中数学试卷，日期：2011/11/18

【题文】函数

，且

的定义域为

，则

，且对于定义域内的任意x,y都有的值为（ ）

A．-2 【答案】C

B． C． D．2

【解析】本题关键在于利

经典习题1

3?1. 若函数f(2x?1)的定义域为??1,??,则函数f(log2x)的定义域为( )

?2?1?A. ??,2? B. 2???1??14 C. ,2?,???2??2??12? D.?,4??2?2? ?2. 若f(n?1)?f(n)?1(n?N*),且f(1)=2,则f(100)的值是( ) A．102 B．99 C．101 D．100

3. 定义R上的函数f(x)满足：f(xy)?f(x)?f(y),且f(9)?8,则f(3)?（ ） A．2 B．2 C．4 D．6

2(?a)?1f(?a)0?4. 定义在区间（-1，1）上的减函数f(x)满足：f(?x)??f(x)。若f1恒成立，则实数a的取值范围是___________________.

5. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数x,y,都有:f(xy)?f(x)?f(y)成立.则不等式f(log2x)?0的解集是__

6. 已知函数f(x)是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f(a2?sinx)?f(a?1?cos2x)对x?R恒成立，求实数a的取

生产函数模型——经济增长分析

柯布—道格拉斯生产函数的基本的形式为：

式中Y是工业总产值 A(t)是综合技术水平

L是投入的劳动力数（万人/人）

K是投入的资本，一般指固定资产净值（亿元/万元，但必须与劳动力数的单位相对应，

劳动力：万人，固定资产净值：亿元）

α是劳动力产出的弹性系数 β是资本产出的弹性系数 μ表示随机干扰的影响，μ≤1

从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数L、固定资产K和综合技术水平A(t)（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α 和β的组合情况，它有三种类型：

①α+β>1，递增报酬型，表明按现有技术水平扩大生产规模的来增加产出是有利的。 ②α+β<1，递减报酬型，表明按现有技术水平扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。 ③α+β=1，不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。

美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。当μ=1时，斯诺模型为：

根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1）：

①劳动力边际生产力加的产值。

表示在资产不变时增加单位劳动力所增

②资产边际生产力加的产值。

表示在劳动力不变时增加单位资产所增

③劳力对资产的边际代换率时增加单位劳动力所能减少的资产值。

表示产值不变

④劳动力产出弹性系数率。

，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速

⑤资产产出弹性系数,表

1.6三角函数模型的简单应用

教学目的

【知识与技能】

1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.

2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.【过程与方法】

一、练习讲解：《习案》作业十三的第3、4题

3、一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平g??衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s?3sin?（1）求小球?t??,t?[0,??)，

?l?6??摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？

2

解：（1）???4、略（学生看书）二、应用举例：

g2??T??2?l?l1,f?g2?gg；（2）若T?1，即l??24.8cm.24?l例1如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(?x＋?)＋b(1) 求这一天6~14时的最大温差；(2) 写出这段曲线的函数解析式.

T /oC302010O68101214t /h本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温

几类不同增长的函数模型

【学习目标】

1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．

2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增大等几类不同的增长和函数模型的意义．3．通过本节内容的学习，培养用函数的观念、思想和方法去理解、解决实际问题的意识，感悟到现实世界中数学无处不在，世界是数学的物化形式，数学是世界的精髓．【要点梳理】

要点一：几类函数模型的增长差异

一般地，对于指数函数(1)x yaa??和幂函数(0)yx????，通过探索可以发现，在区间??0,??上，无论?比a大多少，尽管在x的一定范围内，x a会小于x?，但由于x a的增长快于x?的增长，因此总存在一个0x，当0xx?时，就会有x a?x?．同样地，对于对数函数log a yx?增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x 的一定范围内，log a x可能会大于x?，但由于log a x的增长慢于x?的增长，因此总存在一个0x，当0xx?时，就会有log a xx??．

综上所述，在区间??0,??上，尽管函数(1)x yaa??、(0)yx????和log(1)a yxa??都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随

篇一：抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号

f(x)”有关问题解法

f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地

掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。

表示原自变量x的代数式，从而求出

f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生

x

)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u?u,则x??1?解：设∴f(u)?2x?11?u1?u1?u

例1：已知

f(

∴

f(x)?

2?x

1?x

2.凑合法：在已知

f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，

还能进一步复习代换法。

例2：已知

11f(x?)?x3?3

xx

，求

f(x)

解：∵

1111111

f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|??1

xxxxxx|x|

∴

f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知解:设