2015全国卷一数学立体几何

2015-2017立体几何高考真题

1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A）14斛 （B）22斛 （C）36斛 （D）66斛

2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=（ ）

（A）1 （B）2 （C）4 （D）8 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；

（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编

立 体 几 何

一、选择题

【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是（ ）

【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是

28π，则它的表面积是（ ） 3A．17π B． 18π C． 20π D． 28π

A，?∥平面CB1D1，??平面ABCD?m， 【2016，11】平面?过正方体ABCD?A1BC11D1的顶点

??平面ABB1A1?n，则m,n所成角的正弦值为（ ）

A．

1323 B． C． D．

3223【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问

题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有(

高一数学作业

第3章 立体几何初步 第37课 棱柱、棱锥和棱台

【基础平台】

1．观察图中各物体的形状，指出从它们抽象出几何体的类型.

2．正方体可以看作 平移，平移的距离 形成的几何体. 3．下列命题正确的是 （ ）

（A）棱柱的底面一定是平行四边形 （B）棱锥的底面一定是三角形

（C）棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 （D）棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱

4．如图，ABCD是一个正方形，E、F分别是AB和BC的中点，沿折痕DE、EF、FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？

D C F E 第4题图

A B

【自主检测】

1． 棱柱的侧面是 形，棱锥的侧面是 形，棱台的侧面是 形. 2． 如图所示，四棱柱的底面是 ； 侧棱是 ；

侧面是

18. （2015本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE?平面ABCD， （I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120?，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为

6，求该三棱锥的侧面积. 3

18、解：

（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120 ，可得

oAG=GC=

x3x，GB=GD=.

22因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=3x. 22x. 2由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=

由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE?ACD=

11636x?×AC·GD·BE=.

32243故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.

18. （2015本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE?平面ABCD， （I）证明：平面AEC?平面BED；

（II）若?ABC?120?，AE?EC, 三棱锥E?ACD的体积为

6，求该三棱锥的侧面积. 3

18、解：

（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.

又AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分 （II）设AB=x，在菱形ABCD中，又∠ABC=120 ，可得

oAG=GC=

x3x，GB=GD=.

22因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=3x. 22x. 2由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=

由已知得，三棱锥E-ACD的体积VE?ACD=

11636x?×AC·GD·BE=.

32243故x=2 ……9分 从而可得AE=EC=ED=6. 所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.

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第一章：空间几何体

1.1.1柱、锥、台、球的结构特征

一、教学目标 1．知识与技能

（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。

（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法

（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观

（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。

（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点

重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具

（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路

（一）创设情景，揭示课题

1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构

学校高三下期数学（文）教案（一）（学生卷）

专题一：空间角

一、基础梳理

1.两条异面直线所成的角

（1）异面直线所成的角的范围：(0,?2]。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b 垂直，记作a?b。

（3）求异面直线所成的角的方法：

（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：?0，

??。 2（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角， 且a与?相交成?1角，a在?上的射影c与b相交成?2角，

Pa则有cos?1cos?2?cos? 。

?1?由（3）中的公

1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE; （2）平面CDE?平面ABC。

2、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

D A

D1

B

E

A C

BDE。 求证： AC1//平面

3、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,

B1

E C

A D

B SC

求证：AD?面SBC．

ADBCD1A1DOABB1C1O是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD?A1BC11D1，

求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1． 1

5、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证： （1）AC?平面B'D'DB； （2）BD'?平面ACB'. 6、正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?CD1 A1 E D B1 C1 F G C

2?BDC?90， AC，A B 2

求证：BD?平面ACD

1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中点。 求证：（1）AB?平面CDE; （2）平面CDE?平面ABC。

2、如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中点，

D A

D1

B

E

A C

BDE。 求证： AC1//平面

3、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,

B1

E C

A D

B SC

求证：AD?面SBC．

ADBCD1A1DOABB1C1O是底ABCD对角线的交点. 4、已知正方体ABCD?A1BC11D1，

求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC?面AB1D1． 1

5、正方体ABCD?A'B'C'D'中，求证： （1）AC?平面B'D'DB； （2）BD'?平面ACB'. 6、正方体ABCD—A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．

7、四面体ABCD中，AC?BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF?CD1 A1 E D B1 C1 F G C

2?BDC?90， AC，A B 2

求证：BD?平面ACD

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2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析）

11．立体几何

一、选择题

(2018·新课标Ⅰ，理7) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）

A．217

B．25 C．3 D．2

(2018·新课标Ⅰ，理12) 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正

方体所得截面面积的最大值为（ ） A．33 4 B．23 3 C．32 4 D．3 2（2018·新课标Ⅱ，9）在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）

1A．

5 B．5 6 C．5 5 D．2 2（2018·新课标Ⅲ，理3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

（2018