最值问题的实际应用

“一师一优课”

《动态最值问题——圆内最值问题》教学设计

西安爱知中学 郭晏铖

【学情分析】

在运动变化中求最值的问题灵活性较强，涉及的知识面较广，对学生思维能力要求较高，经常令学生束手无策。因此如何正确快速的求解成为学生学习中的难点。本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,以及点和圆、直线和圆的位置关系。四班的同学在年级中属中等偏上水平，对于基本知识的学习掌握的较快，但缺乏应用的灵活性。与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索，在训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力 【教学方法】

对于圆中求最值问题,学生经常感到无从下手，处理此类题目首先要明确题目中运动的对象，然后就是根据按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图象。现在学生普遍欠缺作图能力，因此我在题目的设置上也遵循由易到难的原则，从给出图形到简单作图再到复杂作图，让学生在这个过程中体会作图的重要性。

任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系，这也是解决这类问题的关键。在设计时我也注重设计情境，引导学生自己挖掘题目中的信息，找到这些关键点。从例1中的定量过渡到不变的位置关系再到不变的数量关系，剥茧抽丝，层层递进，从而体会探究的乐趣。

课题： 数列中的最值问题

执 教：宋荷娟

班 级：高三（1）班 教学目标：

1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法． 2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．

3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．

教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题． 教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．

教学过程：

一． 实例引入

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．

问题1：在一次人才招聘会上，A、B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A，B两家公司同时录用，试问：该人在A公司工作比在B公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．

思路分析：由题意可知，此人在A、B两公司工作的第n年月

拔高专题 圆中的最值问题

一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考 图（1）两点之间线段 最短 ； 图（2）垂线段 最短 。 .在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条

人教版小学数学五年级上册第二单元《解决问题》

教学内容：解决问题P33，例12 教学目标：

1．在具体的情境中，引导学生结合实际情况探索用“进一法”和“去尾法”取商的近似值。

2．在活动中，培养学生灵活解决问题的能力，体会求商的近似值的应用价值。

3．在解决问题中感受数学解题策略的巧妙运用,体验数学乐趣。

教学重点：根据实际情况，能用“进一法”和“去尾法”取商的近似值。

教学难点：培养学生灵活解决实际问题的能力。 教法设计：引导法

学法设计：自主探究，合作交流 教学流程：

一、复习导入 1．口算除法

4.5÷9 3.6÷4 0.72÷8 81÷0.9 3.5÷0.5 2.7÷0.3 5.6÷0.7 2÷0.5 2．“四舍五入”法求商的近似数

出示问题：买12个苹果花了19.4元。一个苹果大约多少钱？

1

（1）学生独立解答

（2）今天我们继续来学习跟商的近似值有关的知识，板书课题

二．探究新知

（一）学习书本P33例12（1）

1．出示书本P33例12（1）：小强的妈妈要将2.5千克香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶最多可盛0.4千克，需要准备几个瓶？

2．学

小升初专题：最值问题精选试题 QQ：258155493 武汉三镇奥数辅导 15337245165

最值问题精选试题

1、不能写成两个不同奇合数的和的最大偶数是多少？

2、两个四位数，每一个的各位数字互不相同，如果它们的差是1999，那么它们的和的最大值是多少？

3、某学习小组有4名女生，2名男生。在一次考试中，他们做对试题的数量各不相同，最多对10题，最少对4题；女生中做对最多的比男生做对最少的多4题，男生中做对最多的比女生中做对的最少的多4题，则男生中做对最多的人对了几题？

4、20=10+10=5+5+10=1+2+3+4+5+5=?=1+1+?+1。这说明20可用多种形式写成若干个自然数之和。在每种写法中，将这种写法所包含的所有自然数相乘，问乘积的最大值是多少？

5、连续自然数1，2，?，N（N>50）。如果从中任取50个数，都能从中找到两个数，使这两个数的差等于7。问N的最大值是多少？

6、已知算术式abcd-efgh=1996，其中abcd和efgh均为四位数；a，b，c，d，e，f，g，h是0，1，2，3，?，9中的八个不同数字。问abcd与efgh之和的最大值与最小值差是多少？

7、将分别写有数码1、2、3、4

第二十三讲 平面几何的定值与最值问题

【趣题引路】

传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.??每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,?而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.

这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,?然后再到集市的路程最短呢?

(1) (2)

解析 在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.

证明 如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′. 连结BP?′与切线MN?交于R,AR+BR>AP+BP. ∵RP′+AP′>AR.

∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.

不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.?“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.

【知识延伸】

平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间

浅谈初中数学线段之和最值问题

近年来，在全国各地出现的中考试题的平面几何最值问题中，呈现出变化多、涉及面广、形式灵活的景象，对学生来讲是个难点；如果深入思考，可以发现：这类试题的命制都是立足于教材，解决途径都是运用转化的思想“化折为直”。本文中，笔者根据近几年的中考试题，结合浙教版教材和自己的教学体会，谈谈初中数学中求线段之和最值的求解策略。

1.直接应用定（公）理求最值

平面几何解决最短线路问题时常用的公理(定理)：①两点之间线段最短.②三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边（②是由①得出）；③直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短.

1.1应用两点之间线段最短

教材链接：七上7.3线段的长短作业题： D如图，A、B、C、D表示4个村庄.村民们准备合打一口水井，（1）略（2）你能给出一中使水井到各村庄的距离之和最小的方案吗？若能，请标出水井的位置，并说明理由. A 解题分析：

教材作业题中，因点D与点B、点A与点C是定点，当水井打在AC与BD的交点时，水井到各村庄的距离之和最小，直接利用“两点之间线段最短”的原理。

中考链接：（2009山东潍坊）已知边长为a的正三角形ABC(一象限),两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴,y轴的

“最值问题” 集锦

●平面几何中的最值问题………………… 01 ●几何的定值与最值……………………… 07 ●最短路线问题…………………………… 14 ●对称问题………………………………… 18 ●巧作“对称点”妙解最值题…………… 22 ●数学最值题的常用解法………………… 26 ●求最值问题……………………………… 29 ●有理数的一题多解……………………… 34 ●4道经典题……………………………… 37

●平面几何中的最值问题

在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．

在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种： （1） 应用几何性质：

① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短；

③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④ 定圆中的所有弦中，直径

圆中最值问题

类型一 圆上一点到直线距离的最值问题

22(x?3)?y?1上任一点，则PQ的最小例1 已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：

值为 .

变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x?3)2?y2?1上任一点，则SVQAB的最小值为 .

变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：(x?3)2?y2?1引切线，则切线长的最小值为

变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则当PC= 时，?APB最大．

变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 .

例2已知圆C：x2?y2?2x?4y?3?0，从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标．

y C O x

类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）

例3若实数x、y满足x2?y2?2x?4y?0，求x-2y的最大值． 如在上例中，改为求

y?1，(

几何最值问题

例题精讲

板块一、点到直线的距离最短

【例1】 o的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为

板块二、两点之间，线段最短

常见题型是在立体图形中求最小值，一般方法为把立体图形展开成平面图形，再根据两点间线段最短

【例2】 如图有一个圆柱体礼盒，高为10cm，底面直径为102cm，彩带从A点出发绕礼盒

侧面两周后粘贴在B出，则彩带的最短长度为

【例3】 如图，有一个长方体，它的长BC?4，宽AB?3，高BB1?5，一只小虫由A处出发，

沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是

D'C'A'B'DC

【例4】 如图所示，圆锥的母线长OA?6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕

圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短距离为

【例5】 如图所示，有一圆锥型粮堆，其主视图是边长为6m的正三角形△ABC，母线AC的

中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B点处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是

MSDC模块化分级讲义体系

初中数学.几何最值A级）.几何最值的复习.教师版

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