三维旋转变换

一、“等边旋转”

例一、如图，四边形ABCD中，AD=CD,∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=2 （1）以线段BD,AB,BC作为三角形的三边，①则这个三角形为 三角形（填锐角、直角、钝角）②求BD边所对的角的度数。 （2）求四边形ABCD的面积。例一.gsp

二、利用特殊图形的主要线段寻找旋转

例二、在等腰直角△ABC中，D是AB的中点，∠EDF=90°，求证：DE=DF例二.gsp

三、“半角”问题

例三、如图17、18是两个相似比为1：2 的等腰直角△DMN和△ABC，将这两个三角形如图19放置，△DMN的斜边MN与△ABC的一直角边AC重合

（1） 在图19中，绕点D旋转△DMN，使两直角边DM、DN分别于AC、BC交于点E、

F，如图20，求证：AE?BF?EF 例三（1）.gsp

（2） 在19图中，绕点C旋转△DMN，使它的斜边CM、直角边CD的延长线分别与AB

交于点E、F，如图21，此时结论AE?BF?EF是否仍然成立？若成立，请给

出证明；若不成立，请说明理由。例三（2）.gsp

（3） 如图22，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点且满足△CEF的周长等

于正方

期中复习——旋转

初三数学期中复习——旋转

班级_______姓名_______学号________

基本知识梳理：

1．在平面内，把一个图形绕着 转动 的图形变换叫做 ．点O叫

做 ，转动的角叫做 ．

2．确定图形旋转的要素是： ； ； ． 3．旋转前、后的图形具有的性质：

（1）对应点到旋转中心的 .（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 . （3）旋转前、后的图形 . 4.中心对称和中心对称图形 5.【方法总结】

（1）只要图形中存在有公共端点的等线段，就可能形成旋转型问题.

（2）当旋转角是60°时，作一个图形旋转后的图形存在等边三角形；当旋转角是90°时，存在等腰直角三角形. 反之，如果图形中存在两个等边三角形或两个等腰直角三角形或两个正方形，可以从图形旋转的角度分析图形关系.

简言之，遇中点，旋180度，构造中心对称；遇90度，旋90度，造垂直；遇60度，旋60度，造等边；遇等腰，旋顶角。但也不能思维定势，有时也可以通过轴对称、平移或辅助圆等方法解决问

三维线性变换

陈祥科

1、线性空间 ..................................................................................................................................... 2

1.1、 线性空间的代数定义 .................................................................................................... 2 1.2 线性空间的基和维度 ...................................................................................................... 2 2、线性变换 ................................................................................................................................

三维地学产品系列

三维地学产品系列是在新一代面向网络超大型分布式地理信息系统基础平台K9基础上，实现综合地学数据的高效存储管理、更新维护、查询统计、地质成图成表、分析应用、专业评价及地质数据多元统计分析、三维地质建模、可视化及分析，面向地质人员、政府规划、建设部门、企事业单位以及社会公众等不同层次用户提供地质信息服务。

图 1三维地学产品系列建设目标

地学资料管理系统

地学资料管理系统C/S版

地学资料管理系统C/S版面向数据管理维护人员提供基础地理空间数据、各专题属性数据、成果图件、文档资料等各类资料的数据库管理维护及操作监测，辅助地学资料管理人员进行多元多尺度的可视化数据管理，包括地质数据库扩展与配置、地学资料的录入、导入导出、数据检查、显示查询浏览、钻孔地层交互式标准化、权限配置管理等。

图 2地学资料管理系统功能结构框架

地学资料管理系统B/S版

地学资料管理系统B/S版面向社会公众发布整理好的地学数据信息。通过MapGIS数据中心设计器自由定制数据的专业目录树，方便实时更新和发布；对大量地质资料元数据分类、分级管理，进行查询，发布；支持各种格式的地质资料的浏览；支持平面、球面模式下的三维模型展示和空间分析操作。

图 3数据查询结果显

计算机图形学三维变换主讲：汪日伟 Email:craftcub@

实例03 变换 三维图形显示流程

gluCylinder(quadraticObj,1.0f,1.0,1.0,64,64);

OpenGL三维图形显示流程

OpenGL三维图形显示流程 视图变换(Viewing Transformation) 第一步，将相机置于三角架上，让它对准三维景物 模型变换(Modeling Transformation ) 第二步，将三维物体放在适当的位置 投影变换(Projection Transformation) 第三步，选择相机镜头)并调焦，使三维物体投影在 二维胶片上 视口变换(Viewport Transformation) 第四步，决定二维像片的大小

The Camera Analogy 照相机的成像过程

模型变换

投影变换

视口变换

模型视图变换 平移变换 旋转变换 比例缩放变换

void glTranslate{fd}(TYPEx, TYPE y, TYPEz);

void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z);

void glScale{fd}(TYPEx, T

§4.5 三维图形的几何变换

? 三维图形的基本变换矩阵有哪些？

? 三维图形变换的应用（三视图、轴测图、透视图）。

和二维图形一样，用适当的变换矩阵也可以对三维图形进行各种几何变换。对三维空间的点如(x,y,z)，可用齐次坐标表示为(x,y,z,1)。因此，三维空间里点的变换可写为：

?A?D?1??H??LBEIMCFJNP??Q?，此方阵R??S??x'y'z'1???xyz亦可分为四部分，其中左上角部分产生比例、对称、错切和旋转变换；左下角部分产生平移变换；右上角部分产生透视变换；右下角部分产生全比例变换。

一、 三维比例变换（基点为原点）

?x'y'z'1???xyz?A?01??0E000??0???AxEyJz1??00J0???0001??

由上式可知：A、E、J分别控制X、Y、Z方向的比例变换。若A＝E=J=1，S≠1，则元素S可使整个图形按同一比例放大或缩小。即：

?1000???x'y'z'1???xyz1??0100???0010???xy??000S??

若S>1，则整个图形变换后缩小；若S<1，则整个图形变换后放大。

下图为对一三棱锥分别实行局部比例变换(X方向放大1倍；Y方向缩小1倍；Z方向比例不变)和全比例放大1倍的变换。

zS???x??S

CAD是由人和计算机合作,完成各种设计(如机械设备设计、集成电路设计、建筑土木工程设计、服装设计等)的一种技术,即计算机辅助设计(Computer Aided Design),简称CAD.

运用solidworks完成autocad的二维图形向三维模型的转变 CAD是由人和计算机合作，完成各种设计(如机械设备设计、集成电路设计、建筑土木工程设计、服装设计等)的一种技术，即计算机辅助设计(Computer Aided Design)，简称CAD.

在机械CAD领域内，设计软件的种类很多，诸如AutoCAD、UG、Pro/E、Solidworks、SolidEdge等，各种软件都各有其优缺点。如何解决各类软件数据转换接口，使设计的图形能“通用”，是决定设计软件特别是新兴软件能否被用户所接受的重要条件。Solidworks的特征识别技术将数据的转换智能化，将静态的几何模型特征化和参数化，让用户在来自其它CAD系统的几何模型上实现自己的设计意图。

1 二维机械CAD领域

在机械CAD的二维领域里，AutoCAD的装机量一直处于国内CAD市场的领先地位。究其原因：AutoCAD的界面友好、操作直观、简单易懂、极易上手、代码开放，投放市场时间较长，用户可进行二次

第丑卷第三期 a 9 9年月

信G N

号L A

处

理N Gg

o

s

_

l兔9 S 9

OE C

A

8

共面 N点三维逆透视变换及运动估计朱维乐成都 (电讯工程学院〔摘要〕由于摄象时光学系统产生的中N,

“

透视投影变换

’

是一种损失深度讯息的变换“

,

在三维景物分析

“

深度

’

这一重要讯息极难提取,

。

木文提出的图象序列”_

三维逆透视变换

”

方法“

,

对联系空间中共予’

点在任意运动前后的相继两幅透视图象的对应象面参数分离出以”,

以全局线性化处理

`

归一中位奇异值

的3

x

3

深度运在的高度非线性方程组可—动间存—矩阵所代表的刚性运动的运动矩阵方程及一“

组线性的

“

相容方程

并系统地得到了基于自由参考坐标系的.

共面 N点三维逆透视变换`

’,

的显式解

,

用以同时砍定物点在运动前后的深度讯息及它们实际经受的运动该显式解直接由象面坐标进行计算,,

算法简单稳定,

、

。

特别是由线性的

相容方程,

”

的最小方差解可

对带有测量误差的 N点象面坐标取最小方差估计确

不仅有效地利用了多点讯息

使深度讯息的恢复十分准

而且也给共面 N点对的自动匹配提供了新的方法

一在机器视觉的研究中息。

、

前、

,

三维景物的分析。

匹配

二弓纷

曰

、

理解所依赖的重要讯息之一是深度讯“

在摄象过程中,,

,

由实际三维物空间二维象面间的

透视投影变换

”

是一损

第丑卷第三期 a 9 9年月

信G N

号L A

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共面 N点三维逆透视变换及运动估计朱维乐成都 (电讯工程学院〔摘要〕由于摄象时光学系统产生的中N,

“

透视投影变换

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是一种损失深度讯息的变换“

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深度

’

这一重要讯息极难提取,

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三维逆透视变换

”

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,

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点在任意运动前后的相继两幅透视图象的对应象面参数分离出以”,

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归一中位奇异值

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3

深度运在的高度非线性方程组可—动间存—矩阵所代表的刚性运动的运动矩阵方程及一“

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相容方程

并系统地得到了基于自由参考坐标系的.

共面 N点三维逆透视变换`

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用以同时砍定物点在运动前后的深度讯息及它们实际经受的运动该显式解直接由象面坐标进行计算,,

算法简单稳定,

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特别是由线性的

相容方程,

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的最小方差解可

对带有测量误差的 N点象面坐标取最小方差估计确

不仅有效地利用了多点讯息

使深度讯息的恢复十分准

而且也给共面 N点对的自动匹配提供了新的方法

一在机器视觉的研究中息。

、

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三维景物的分析。

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、

理解所依赖的重要讯息之一是深度讯“

在摄象过程中,,

,

由实际三维物空间二维象面间的

透视投影变换

”

是一损

摘要：我们描述凿：实时housescale系统 （300平方米以上）密集三维重建

板载通过使用动态一个谷歌探戈[1]移动设备 空间散列截断签订距离场[2]映射， 和本地化的视觉惯性测程。通过积极 剔除不包含表面场景的部分，我们避免 不必要的计算和内存浪费。即使在非常嘈杂 条件下，我们通过生产高品质的重建 利用空间雕刻。我们能够重建和渲染非常 在实时的2-3厘米的分辨率在移动大场面 设备无需使用GPU计算的。该用户能够 查看并与通过实时重建相互作用 直观的界面。我们提供定性和定量

上公开可用的RGB-D数据集[3]，并在数据集的结果 从两个设备收集实时。 引言

近日，手机厂商也开始加入

高品质的深度和惯性传感器到移动电话和

片。我们在工作中使用的设备，谷歌的探戈[1] 手机和平板电脑具有非常小的主动红外投影 深度传感器，高性能的IMU和组合 视摄像机宽视场（第四节-A）。其它装置，例如

作为Occiptal Inc.的结构的传感器。[4]具有类似的功能。 这些器件提供了板载的，完全集成的传感 平台的3D绘图与定位，与应用

从移动机器人为手持设备，无线增强 现实。

(a) CHISEL creating a map of an entire of