空间向量与立体几何测试题及答案

高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题

一、选择题

1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ

?????2．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达中错误的一个是（ ） ??????????????Ａ．AA1?A1B1?A1D1 ???????????????Ｃ．AD?CC1?D1C1

???????????????Ｂ．AB?DD1?D1C1

???????????1????Ｄ．(AB1?CD1)?AC11

2答案：Ｂ

3．若a，b，c为任意向量，m?R，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．(a?b)?c?a?(b?c) Ｂ．(a?b·)c?a·c?b·c Ｃ．m(a?b)?ma?mb Ｄ．(a·b·)c?a·(b·c) 答案：Ｄ

????????????4．若三点A ，B，C共线，P为空间任意一点，且PA??PB??PC，则???的值为（ ）

Ａ．1 Ｂ．?1 Ｃ．

1 2Ｄ．?2

答案：Ｂ

5．设a?(x，4，，3)b?(3，2，z)，且a∥b，则xz等于（ ）

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

空间向量与立体几何

高二数学空间向量测试题

第Ⅰ卷

一 选择题

1、在下列命题中：

①若向量a、b共线，则a、b所在的直线平行；

②若向量a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面； ③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；

④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc． 其中正确命题的个数为 （ ）

A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD中，,,,则CD ( )

A．

B.

C．

D．

A．

62636465 B. C. D. 7777

9、在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC 二面角B－AD－C的大小为

( )

1

AB，这时2

A．60°

B．45° C．90°

D．120°

10、矩形ABCD中，AB＝1，BC

的角是( ) A．30°

B．45°

2，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面A

专题十 空间向量与立体几何

【知识点总结】

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

?????OP??a(??R)

?????????????? ?????????????? OB?OA?AB?a?bBA?OA?OB?a?b;

;

????运算律：⑴加法交换律：a?b?b?a

??????⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那

??么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作。

??????（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b存

??在实数λ，使a＝λb。

??a//b（3）三点共线：A、B、C三点共线<=>AB??AC <=>OC?xOA?yOB(其中x?y?1) （4）与a共线的单位向

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

????????????????OP?xOA?yOB?zOC （其中x?y?z?1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP?(1?z?y)OA?yOB?zOC，

????????????????????????????????????????∴OP?OA?y(OB?OA)?z(OC?OA)， ????????????∴AP?yAB?zAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知

O D ?ABCD，从平面AC外一点O引向量

A HE ?????????????????????????????????OE?kOA,OF?KOB,OG?kOC,OH?kOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面； （2）平面AC//平面EG．

C B G

F ????????????解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC?AB?AD，

????????????∵EG?OG?OE，

?????????????????????????????k?OC?k?OA?k(OC?OA)?kAC?k(AB?AD)????????????????????????????????? ?k(OB?OA?OD?OA

数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元测试

（时间90分钟，满分100分）姓名： 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1．若a、b、c为任意向量，m?R，下列等式不一定成立的是（ ） A．(a?b)?c?a?(b?c) B．(a?b)·c?a·c?b·c C．m(a?b)?ma?mb D．（a·b)c?a(b·c) 2．已知ABCD是四面体，O为△BCD内一点，则AO?1(AB?AC?AD)是O为△3BCD的重心的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8，则?等于（ ） 922 A．2 B．－2 C．－2或 D．2或－

55553．若向量a?(1,?,2),b?(2,?1,2),a、b夹角的余弦值为4．在以下命题中，不正确的个数为（ ） ①．a?b?a?b是a、b共线的充要条件； ②．若a∥b，则存在唯一的实数?，使a??·b；

③．对空间任意一点O和不

高中新课标数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题

一、选择题

1．空间的一个基底 a，b，c 所确定平面的个数为（ ） Ａ．1个 答案：Ｃ

，2， 1)关于面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则BC （ ） 2．已知A(14，2) Ａ．(0，

4， 2) Ｂ．(0，

Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个以上

4，0) Ｃ．(0，0， 2) Ｄ．(2，

答案：Ｂ

3．已知向量a (x1，y1，z1)，b (x2，y2，z2)，若a b，设a b R，则a b与x轴夹角的余弦值为（ ）

x1 x2

R

答案：Ｄ Ａ．

Ｂ．

x2 x1

R

Ｃ．

x1 x2

R

Ｄ．

(x1 x2)

R

，MB，MC的起点与终点M，A，B，C互不重合且无三点共线，O是空间任一点，则4．若向量MA

，MB，MC成为空间一组基底的关系是（ ） 能使MA

1 1 1

Ａ．OM OA OB OC

333 Ｂ．MA MB MC 1 2 Ｃ．OM OA OB OC

33

Ｄ．MA 2MB MC 答案：Ｃ

5．正方体ABCD A1B1C1

南雅中学2014年高二年级数学单元检测卷

(时间：120分钟，满分：150分)

班级： 学号： 姓名：

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．) 1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则( )

111312

A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝

2262632．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是( )

A．6 B．5 C．4 D．3

3．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为( )

1

A．3 B．2 C．1 D.

24．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 →→→→→

5．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，

高考专题训练七 空间向量与立体几何

班级_______ 姓名________ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．

1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1

→→

的中点，则sin〈CM，D1N〉的值为( )

1

A. 92

C.5 9

4B.5 92D. 3

解析：以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建系，

?1??1?

设正方体棱长为1，则C(0,1,0)，M?1，0，2?，D1(0,0,1)，N?1，1，2?，

?

?

?

?

1－4→?1?→?1?→→

∴CM＝?1，－1，2?，D1N＝?1，1，－2?，∴cos〈CM，D1N〉＝

33????

×221＝－，

9

→→45

∴sin〈CM，D1N〉＝.故选B.

9答案：B

2．(2011·全国)已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于( )

2A. 3

3B. 3

C.

6 3

D．1

→2→→→2

解析：由AB＝(AC＋CD＋