北大版高等数学第三章答案

第三章 导数与微分

一、本章提要

1. 基本概念

瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2. 基本公式

基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3. 基本方法

⑴ 利用导数定义求导数；

⑵ 利用导数公式与求导法则求导数； ⑶ 利用复合函数求导法则求导数； ⑷ 隐含数微分法； ⑸ 参数方程微分法； ⑹ 对数求导法；

⑺ 利用微分运算法则求微分或导数．

二、要点解析

问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.

解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量s与时间变量t之间的函数关系为

s?s(t)，当t从t变化到t??t时，在间隔?t内的平均速度为

s(t??t)?s(t)，此式只反

?t映了在t点附近速度变化的快慢程度，即为t时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使?t?0，即t时刻瞬时速度为v(t)?lims(t??t)?s(t)，也即瞬时速度反映函数

?t?0?ts?s(t)在t时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程

度．

常见的变化率：

⑴ 曲线y?f(x)的切线斜率意义；

dy是纵坐标y对横坐标x的变化率，这是导数的几何 dxd

第三章总练习题

1.为什么用Newton-Leibniz公式于下列积分会得到不正确结果?(1)?1?1??1d?x?d?x?x?e?dx.?e????e?2[?1,1]无界,从而不可积.dx?dx?????xdtanx2?tanx2111(2)?2?0dx.u?tanx在(0,2?)的一些点不可导.2.证明奇连续函数的原函数为偶函数,而偶连续函数的原函数之一为奇函数.证设奇连续函数f的原函数为F, 现在证明F是偶函数.F?(x)?f(x).(F(?x)?F(x))???F?(?x)?F?(x)??f(?x)?f(x)?0,F(?x)?F(x)?C,C?F(?0)?F(0)?0.F(?x)?F(x)?0.设偶连续函数f的原函数为F,现在证明F是奇函数.F?(x)?f(x).(F(?x)?F(x))???F?(?x)?F?(x)??f(?x)?f(x)?0,F(?x)?F(x)?C.设F(0)?0,则C?F(?0)?F(0)?0.F(?x)?F(x)?0.?sinx,x?0,3.f(x)f(x)??3求定积分?x, x?0,解?baf(x)dx??其中a?0,b?0.0a3b0?xba4f(x)dx?a?b0af(x)dx?a4?b0f(x)

高等数学检测题2-5

专业 班级 姓名 编组

一、填空题

1．设函数y?f(x)在区间[a,b]上满足罗尔定理的条件，则曲线y?f(x)至少有一条 切线.

2．设函数y?f(x)在[a,b]上可导，则在(a,b)内至少有一?使 .

3．设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)，则方程f'(x)?0有 个实根.

二．选择题

1．使f(x)?3x2(1?x2)适合罗尔定理的区间是 . (A)(C)[0,1];[0,??);(B)(D)[?1,1];[?2，2];

2．在区间[a,b]上，f'(x)?g'(x)，则 .

3．对函数f(x)?x2?x?1，在区间[a,b]上应用拉格朗日中值定理时，所求得的

(A)(C)f(x)?g(x);f(x)?g(x)?0;(B)(D)f(x)?g(x)?C,(C为常数）;

f(x)?g(x)?C,(C为常数）;?为 .

(A

第三章习题答案

1 已知某投资的内部回报率为r ，且在该投资中C0 = 3000 元，C1 = 1000 元， R2 = 2000 元和R3 = 4000 元。计算r 。 解: 令v = 1

1+r ，由P(r) = 0 有

C0 + C1v ? R2v2 ? R3v3 = 0 代入数据，解得： v ≈ 0.8453 ∴ r = 18.30%

2 十年期投资项目的初期投入100, 000 元，随后每年年初需要一笔维持费用：第

一年3000 元，以后各年以6% 的速度增长。计划收入为：第一年末30,000 元， 以后逐年递减4% ，计算R6 。 解: 由i = 6%, j = 4%

R6 = 30000(1 ? j)5 ? 3000(1 + i)5 = 30000 × 0.965 ? 3000 × 1.065 = 20446.60元

3 已知以下投资方式：当前投入7000 元，第二年底投入1000 元；回报为：第一 年底4000 元，第三年底5500 元。计算：P(0.09) 和P(0.10) 。 解: 净现值P(i) 为：

P(i) = ? 7000 + 4000(1 + i)?1 ? 1000(1 + i)?2 + 5500(1 + i)?

第三章 金属凝固热力学与动力学

1． 试述等压时物质自由能G随温度上升而下降以及液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由。并结合图3-1及式（3-6）说明过冷度ΔT是影响凝固相变驱动力ΔG的决定因素。

答：(1)等压时物质自由能G随温度上升而下降的理由如下：

由麦克斯韦尔关系式：

dG??SdT?VdP （1）

??F???F??y)??dy ?dx??????x?y??y?x??G???G??dT???dP （2）

??T?P??P?T??G????V ?P??T并根据数学上的全微分关系：dF(x,得： dG????G????S,比较（1）式和（2）式得： ??T??P等压时dP =0 ，此时 dG??SdT????G??dT （3） ??T?P由于熵恒为正值，故物质自由能G随温度上升而下降。

(2)液相自由能GL随温度上升而下降的斜率大于固相GS的斜率的理由如下： 因为液态熵大于固态熵，即： SL ＞ SS 所以：

第三章 线性空间

习题精解

1. 把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.

1)??(1,2,1,1)?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)

?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)

?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系

??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4

代入所给向量，可得线性方程组

?k1?k2?k3?k4?1?k?k?k?k?2?1234 ??k1?k2?k3?k4?1??k1?k2?k3?k4?1解之，得

k1?因此

5111, k2?, k3??, k4?? 4444???1??2??3??4

2）同理可得

54141414???1??3

2.证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量可由?1,?2,?,?r线性表出.

证 由题设，可以找到不全为零的数k1,k2,?,kr?1使

k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0

显然kr?1?0.事实上，若kr?1?0，而k1,k2,?,kr不全为零，使

北大版高等数学课后答案第七章

7.1

f(x,y)

:D

3.

.

D,g(x,y)D,g(x,y) f(x,y)g(x,y)D (x0,y0)f(x,y)g(x,y)dσ=f(x0,y0)g(x,y)dσ.

DD

. m,MfD ,.mg (x,y)≤f(x,y)g(x,y)≤Mg(x,y).

mg(x,y)dσ≤f(x,y)g(x,y)dσ≤Mg(x,y)dσ.DDD g(x,y)dσ=0,f(x,y)g(x,y)dσ=0,(x0,y0)∈D

D

.

m≤

D

D

g(x,y)dσ

D

4.

f(x,y)

D

,

f(x,y)=0,.P

(x,y)∈Dff

.

网

f,

1

,

f

P∈D

课

ww

w.

khd

2

aw

=

π

后

答

案

.co

,

f(x,y)g(x,y)dσ=f(x0,y0)

,

D

g(x,y)dσ.

D

f(x,y)dxdy=0.0.

f

,

m

D

f(x,y)g(x,y)dσ

北大版高等数学课后答案第七章

10.

D

y2

√

1 x20

dyy2

√

3(1

x2)2=

32

3.

12.I=

2)

D

(x+y)dxdy,xdxdy+

3

D

x2+y2=1,x2+y2=2y

√2

.

=

Dπ

D

00

1 x20

(x2+y2)dy=

1+

14.

1 (x 1)2

aw

2

khd

(rcosθ)2rdr

课

后

x2dxdy

第三章 一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定

积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节 一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数f?x?和可导函

第三章 一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz）公式 不定

积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常（广义）积分 定积分的应用

2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。 2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分

法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。 5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节 一元函数积分学之一（原函数）

一、 原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数f?x?和可导函

3.4 解：

双线性变换法：

21?z?11?z?1?由于T=2，则：s?

T1?z?11?z?1H(z)?Ha(s)|11|??121?z1?zs?s?1?z?121?z?1s?s?1?1?11?z1?z()??11?z?11?z?1(1?z?1)2? ?12?1?1?12(1?z)?(1?z)(1?z)?(1?z)?1?1?2z?1?z?2?3?z?2脉冲响应不变法：

Ha(s)?1s2?s?1?j33j?331313s?(??j)s?(??j)2222

33?jj33H(z)??13131?e?(??j)T22?z?1?1?ej?(?j)T22z?1?j1?e33z333)?1(?1?j3)?11?e?(1?jz

3.7 解：

数字滤波器的截止频率为：

2?fc2??103wc?2?fcT???1

fs6.28318?103根据脉冲响应不变法，模拟滤波器的截止频率?c?2?fc?wc/T?三阶巴特沃斯滤波器的归一化系统函数为：Ha(s)?进行反归一化，令s?s/?c，则

11 T1 231?2s?2s?s?c31Ha(s)??3231?2s/?c?2(s/?c)?(s/?c)?c?2s?c2?2s2?c?s3?c?(?c/3)ej?/6