帕累托多目标优化求解

多目标优化的求解方法

多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：

多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法：

（1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。

（2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。

（3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。

而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。

1)物资调运

多目标优化的求解方法

多目标优化（MOP）是数学规划的一个重要分支，是多于一个的数值目标函数在给定区域上的最优化问题。 多目标优化问题的数学形式可以描述为如下：

多目标优化方法本质是将多目标优化中的各分目标函数，经处理或数学变换，转变成一个单目标函数，然后采用单目标优化技术求解。目前主要有以下方法：

（1）评价函数法。常用的方法有:线性加权和法、极大极小法、理想点法。评价函数法的实质是通过构造评价函数式把多目标转化为单目标。

（2）交互规划法。不直接使用评价函数的表达式，而是使决策者参与到求解过程，控制优化的进行过程，使分析和决策交替进行，这种方法称为交互规划法。常用的方法有：逐步宽容法、权衡比替代法，逐次线性加权和法等。

（3）分层求解法。按目标函数的重要程度进行排序，然后按这个排序依次进行单目标的优化求解，以最终得到的解作为多目标优化的最优解。

而这些主要是通过算法来实现的, 一直以来很多专家学者采用不同算法解决多目标优化问题, 如多目标进化算法、多目标粒子群算法和蚁群算法、模拟退火算法及人工免疫系统等。

在工程应用、生产管理以及国防建设等实际问题中很多优化问题都是多目标优化问题, 它的应用很广泛。

1)物资调运

下面我们就结合一个例子来制作柏拉图，上表是某个月非致命的数据，以及非致命数所点的累计百分比 STEP:1 先收集非致命数 STEP:2 计算各项非致命在总项中的累积百分比非致命数 累计百分比 礼貌用语 聆听力 同理心 语音语调 逻辑性 主动性 快速反应 语言组织 23 46 72 54 34 12 20 30 同理心 语音语调 聆听力 逻辑性 语言组织 礼貌用语 快速反应 主动性 非致命数 累计百分比 72 54 46 34 30 23 20 6 24.00% 27.00% 30.67% 37.78% 44.12% 46.00% 50.00% 66.67%

STEP:380 70 60 50 40 30 20 10 0

选中数据区A1到C9,点工具栏上的柱形图。直接点完成。

STEP:480 70 60 50 40

非致命数 累计百分比

30 20 10 0

STEP:580 70 60 50 40 30 20 10 0

在绘图区，选中“累计百分比”--》插入数据点折线图

STEP:680 70 60 50 40 30 20 10 0

下面我们就结合一个例子来制作柏拉图，上表是某个月非致命的数据，以及非致命数所点STEP:1先收集非致命数STEP:2计算各项非

案例1 帕累托的潜台词

好坏标准取决于价值判断，但价值判断来源于何处？一种看法认为，什么是好，什么是不好不能由人说了算，因为不管什么人都是狭隘的、自私的，因而是有罪的。因此是非标准应该由人以外的神灵来定。这一观点会引导我们去了解神的旨意，从神学或宗教教义中去寻找好坏的标准。与之相反的观点则是人本主义的，持这种观点的人认为价值判断源于人的要求和愿望。但即使在这一点上取得了一致的看法，分歧仍然是巨大的。因为世上有很多人，每一个人的要求和愿望都是不同的。该以谁的要求和愿望来作为好坏评价的标准呢？一些人认为，世上只有某些人甚至是某个人的要求和愿望是明智的，而其他大多数人则不然。因此什么是好、什么是不好要以那些明智人的理念和意志为标准。与此针锋相对的另一种观点认为，世上的人生来就是平等的，每一个人的要求和愿望都具有合理性，没有好坏之分，应该得到同等的尊重。帕累托是在后一种观念的基础上构建他的规范理论的。帕累托效率包含着这样的潜台词：人的要求和愿望是价值判断的唯一源泉，每一个人的要求和愿望都是合理的，应该得到同等的单重，社会资源怎样配置才好要由所有社会成员的要求和愿望共同来决定。可见帕累托效率决不仅仅是资源配置的一种特定状态，同时也是对一种社会伦理观念的

案例1 帕累托的潜台词

好坏标准取决于价值判断，但价值判断来源于何处？一种看法认为，什么是好，什么是不好不能由人说了算，因为不管什么人都是狭隘的、自私的，因而是有罪的。因此是非标准应该由人以外的神灵来定。这一观点会引导我们去了解神的旨意，从神学或宗教教义中去寻找好坏的标准。与之相反的观点则是人本主义的，持这种观点的人认为价值判断源于人的要求和愿望。但即使在这一点上取得了一致的看法，分歧仍然是巨大的。因为世上有很多人，每一个人的要求和愿望都是不同的。该以谁的要求和愿望来作为好坏评价的标准呢？一些人认为，世上只有某些人甚至是某个人的要求和愿望是明智的，而其他大多数人则不然。因此什么是好、什么是不好要以那些明智人的理念和意志为标准。与此针锋相对的另一种观点认为，世上的人生来就是平等的，每一个人的要求和愿望都具有合理性，没有好坏之分，应该得到同等的尊重。帕累托是在后一种观念的基础上构建他的规范理论的。帕累托效率包含着这样的潜台词：人的要求和愿望是价值判断的唯一源泉，每一个人的要求和愿望都是合理的，应该得到同等的单重，社会资源怎样配置才好要由所有社会成员的要求和愿望共同来决定。可见帕累托效率决不仅仅是资源配置的一种特定状态，同时也是对一种社会伦理观念的

帕累托原则

这是由19世纪意大利经济学家帕累托提出的。其核心内容是生活中80%的结果几乎源于20%的活动。比如，是那20%的客户给你带来了80%的业绩，可能创造了80%的利润，世界上80%的财富是被20%的人掌握着，世界上80%的人只分享了20%的财富。因此，要把注意力放在20%的关键事情上 根据这一原则，我们应当对要做的事情分清轻重缓急，进行如下的排序：

A 重要且紧急（比如救火、抢险等）——必须立刻做。

帕累托原则拓展

B 紧急但不重要（比如有人因为打麻将“三缺一”而紧急约你、有人突然打电话请你吃饭等）——只有在优先考虑了重要的事情后，再来考虑这类事。人们常犯的毛病是把“紧急”当成优先原则。其实，许多看似很紧急的事，拖一拖，甚至不办，也无关大局。

C 重要但不紧急（比如学习、做计划、与人谈心、体检等）——只要是没有前一类事的压力，应该当成紧急的事去做，而不是拖延。

D 既不紧急也不重要（比如娱乐、消遣等事情）——有闲工夫再说。

针对目前用＂化多为少法＂求解多目标规划问题时,计算过程繁琐或结果不理想的现状,提出了将理想目标转换为现实目标或约束,再用LINGO软件求解的方法。给出了2个实例的分析与求解过程,结果表明,与传统方法相比,该方法过程简单结果也较优。

第2卷第3 6期 21 0 2年 5月

湖

南

工

业

大

学

学

报

VOl2 No. -6 3 M a 201 v 2

J u a f n nUn v ri fT c n l g or l n o Hu a i e st o e h o o y y

d i 03 6/i n1 7— 8 32 1 .3 0 o: . 9 . s.6 3 9 3 . 2 . 2 1 9 js 0 0 0

多目标规划的 L N I GO求解法吴有平，刘杰，何杰

(. 1湖南工业大学土木工程学院，湖南株洲 4 2 0;2湖南省建筑工程集团总公司，湖南长沙 4 0 0 10 7 . 10 4)

摘要：针对目前用“多为少法”求解多目标规划问题时，计算过程繁琐或结果不理想的现状，提出化了将理想目标转换为现实目标或约束，再用 L NGO软件求解的方法。给出了2个实例的分析与求解过程，结 I

果表明，与传统方法相比，该方法过程简单结果也较优。关键词：多目标规划

卡尔多-希克斯改进与帕累托改进

摘自：百度百科

一、卡尔多改进

卡尔多－希克斯标准（KALDOR－HICKSIM-PROVEMENT）

如果一种变革使受益者所得足以补偿受损者的所失，这种变革就叫卡尔多－希克斯改进。

如果一种状态下，已经没有卡尔多－希克斯改进的余地，那么这种状态就达到了卡尔多－希克斯效率. 与帕累托标准（PARETO IMPROVEMENT）相比，卡尔多－希克斯标准的 条件更宽。

按照前者的标准，只要有任何一个人受损，整个社会变革就无法进行；但是按照后者的标准，如果能使整个社会的收益增大，变革也可以进行，无非是如何确定补偿方案的问题。所以，卡尔多－希克斯标准实际上是总财富最大化标准。如前提到的A和B两种状态，可以看做是两个投资项目，如果按照帕累托标准，我们不知道应该选择哪一个项目。选择B项目第一个人同意第二个人不同意；选择A项目，第二个人同意第一个人不同意。但按照卡尔多-希克斯的标准，哪个项目可以带来的总价值或者总利润最大，就投资哪个项目，显然B项目下社会的总收益是1099，大于A项目下的200，所以，应该选择B项目。

这实际上意味着，我们在一项变革中，主要考虑的是社会价值最大化和社会财富最大化，当然这里可能包含着很大的

cha3RIV4cha4RIV1RES1CON1RIV3CON2RIV5cha5DIS1cha1DIS3CON3cha6cha7DIS4DIS2ECO1cha9RIV6DIS5cha10CON4cha8ECO2cha2RIV2图例：Dis1RES1水库ReservoirCON1RIV1河道RiverECO1供水区Water Supply District汇流点Confluence Node生态控制断面Ecological sessioncha1引水渠Channel for Water Supply退水渠Channel for Water Returncha2

1、简介

此为水资源的多目标优化配置模型。

水流沿箭头方向流动，从水库1，一直到生态断面2。其中，riv2和riv4为支流入流，其余河道为干流，模型供水区有5个，每个供水区都通过引水渠（绿色channel）和退水渠（红色channel）与河道相连。汇流点起到平衡、传承流量的作用，同时能保证水不会倒流。例如有引、退水渠连接的河道，如果不设置汇流点，很可能退的水会被其相应的引水渠引走，就有问题了。

2、约束

模型中最重要的约束就是水量平衡约束。

对于水库res，需要考虑其蓄水的变化（自身变化

第9章 多目标函数的优化设计方法

Chapter 9 Multi-object Optimal Design

在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。

9.1 多目标最优化模型

9.1.1 问题举例

例9-1 生产计划问题 某工厂生产n（n?2）种产品：1号品、2号品、...、n号品。

已知：该厂生产i(i?1,2,...,n)号品的生产能力是ai吨/小时； 生产一吨i(i?1,2,...,n)号品可获利润?i元；

根据市场预测，下月i号品的最大销售量为bi(i?2,...,n)吨； 工厂下月的开工能力为T小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。

问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少；

工厂获得最大利润；

满足市场对1号品尽可能多地要求。

为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i号品的时间为xi(i?1,...,