超静定结构位移计算例题

第六章

超静定结构的解法—位移法

第六章 §6-1 基本概念 §6-2 位移法举例 §6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法

§6-4 计算有侧移结构的反弯点法

问题：如何求解超静定结构？ l cosa i i 杆长为li,Ai=A , Ei=EB 1 D 3 C 2

a a

FNi li li EA EA cosa i FNi li

Δ

A FP

Fy 0

FNi cosa i FP

物理 平衡

几何条件

第一种基本思路位移法思路(平衡方程法)以某些位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知内力-位移(转角-位 移)关系的单根杆件集合 分析各单根杆件在外因和结点位移共同作用 下的受力 将杆件拼装成整体 用平衡条件建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨杆件内力和外因 及结点位移关系可得原结构受力

位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。Z1

FP

哪些位移为基本未知量？2 1Z1

1 Z1

EI=常数 3l 2 l 2

Z1

Z1

FP 2

1 3

如何确定基本未知量？

假定：不考虑轴向变形

位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼

第5章 静定结构位移计算

§5 – 1 基本概念

5-1-1 虚拟单位力状态构造方法

●虚拟单位力状态构造方法：

（1）去掉所有荷载重画一个结构； （2）标出所求位移矢量；

（3）该矢量变成单位力，即得虚拟单位力状态。 如图3-1a刚架求C点竖向位移?CV和C截面转角

(a)qEICEIll(b)1C?C，图3-1b和图3-1c为求相应位移所构造的虚拟单位

力状态。

求?CV(c)1C5-1-2 位移计算公式

虚拟单位力作用下，引起的内力和支座反力：

求?C图3-1虚拟单位力状态

FN,M,FQ,FRi

实际荷载作用下，引起的内力：

FNP,MP,FQP

●位移计算一般公式

????FNdu???Md????FQ?ds??FRici

●荷载作用产生位移的计算公式

????kFQFQPFNFNPMMPds???ds???ds EAEIGAMMPds EI1、梁或刚架结构 ????2、桁架结构 ????FNFNPds EA 2 结构力学典型例题解析

3、混合结构

????FNFNPMMPds???ds EAEI●支座移动引起位移计算公式

????FRici

●温度引起位移计

§1.3 超静定结构的计算

超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。

计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。这两种基本方法的解题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算问题。转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要解决的关键问题就是求解基本未知量。

1.3.1 力法

力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。

（（一）超静定次数的确定一）超静定次数的确定

超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用

n表示。

确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原结构的超静定次数。

在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种：

● 切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束； ● 将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束；

● 去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于去掉两个约束；

● 将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支

第4章 静定结构的位移计算习题解答

习题4.1 是非判断题

(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）

(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）

(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA相同，则两图中C点的水平位移相等。（ ） (8) MP图，M图如习题4.1(8)图所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的：

12ql2l(??l)? EI384 （ ）

(9) MP图、M图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：

11(A1y01?A2y02)?A3y03 EI1EI2 （ ）

(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等

定理不成立。（ ）

FPCCFPll(a)

第4章 静定结构的位移计算习题解答

习题4.1 是非判断题

(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）

(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）

(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA相同，则两图中C点的水平位移相等。（ ） (8) MP图，M图如习题4.1(8)图所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的：

12ql2l(??l)? EI384 （ ）

(9) MP图、M图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：

11(A1y01?A2y02)?A3y03 EI1EI2 （ ）

(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等

定理不成立。（ ）

FPCCFPll(a)

第四章 静定结构的位移计算

一. 教学内容

理解广义力和广义位移的概念、虚功原理、单位荷载法、图乘法、互等定理。 能利用单位荷载法正确的计算结构在荷载作用及支座移动下和温度变化下的位移。

掌握图乘法及应用条件，能用图乘法计算粱和刚架的位移；能够计算桁架的位移。

一. 教学目的

掌握各种静定结构的位移计算,为超静定结构的内力和位移计算打好基础。 二. 主要章节 第一节、概述 第二节、功和虚功原理

第三节、单位荷载法计算位移的 第四节、结构在荷载作用下的位移计算 第五节、图乘法

第六节、 温度作用时静定结构的位移计算 第七节、支座移动时静定结构的位移计算 第八节、线性变形体系的互等定理 §6-9 小结 §6-10 思考与讨论 §6-11 习题 §6-12 测验 三. 学习指导

本章是静定结构与超静定结构的联结部分，一方面有相对的独立性，另一方面又是学习超静定结构的基础，因此应当有一个正确的学习态度。本章的理论基础是虚功原理，重点是单位荷载法和图乘法的应用，因此应当加强学习和练习。

四. 参考资料

《建筑力学教程》P61～80

第一节、概述

一. 教学目的

了解位移的概念。 二. 主要内容 . 结构位移计算概述 三. 学习指导

本节是静定结构与超

力学相关

第三章 静定结构的受力分析

一、 静定结构的特征

本章讨论各类静定结构的内力计算。何谓静定结构，①从结构的几何构造分析知，．．．．静定结构为没有多余联系的几何不变体系；②从受力分析看，在任意的荷载作用下，静定结构的全部反力和内力都可以由静力平衡条件确定，且解答是唯一的确定值。因此静定结构的约束反力和内力皆与所使用的材料、截面的形状和尺寸无关；③支座移动、温度变化、制造误差等因素只能使静定结构产生刚体的位移，不会引起反力及内力。

二、 静定结构的计算方法

在材料力学中，杆件横截面的内力用截面法求解，即用假想的截面截取分离体，暴露出所求截面的内力，然后列出分离体的平衡方程，计算支座的反力和内力，绘制结构的内力图。对静定结构受力分析的基本方法就是截面法。本章将对实际工程中应用较广泛的单跨和多跨静定梁、静定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等常见的静定结构（图3-1）进行了内力分析，并完成内力图的绘制。

(

a)单跨静定梁(b)多跨静定梁

(

c)

静定刚定

(

f)静定组合结构

图3-1 常见静定结构

第一节 单跨和多跨静定梁

力学相关

一、 单跨静定梁

单跨静定梁在工程中应用很广，是组成各种结构的基本构件这一，其受力分析是各种结构受力分析的基础。在材料力学中

静定结构由于支座移动引起的位移静定结构是无多余约束的几何不变体系，当发生支座移动时，静定结构将发生刚体位移。支座移动不引起静定结构的应变，也不引起静定结构的内力。K

1

ΔKc

Δ=c

实际状态

静定结构支座移动时的位移计算，属于刚体体系的位移计算问题，可用刚体体系的虚功原理求解。

2

K

由刚体体系的虚功方程Δ=c

ΔKc

实际状态 1

1 ΔKc+ R c= 0

可得支座移动时的位移计算式：

虚拟状态

R

1 ΔKc= R c

1 ΔKc= ∑ R c

已知的支座移动虚拟状态中有支座移动的支座的虚反力

两者方向一致为正；相异为负

例1支座B下沉cB,求C点的竖向位移ΔCyc

3

1 ΔCyc= ∑ R c5 5= ( ×cB )= cB (↓ ) 4 4

1

虚拟状态

例2

4

图示简支刚架，支座A下沉a,求B点的水平位移和B端截面的转角。

h RA= lΔBxc= ∑ h ha R c= (× a)= l l (← )

(2)求B端截面的转角1

5

1 RA= l

θ Bc

1= ∑ R c= (× a )逆时针转动 l

例3

6

图示桁架的支座 B向下移动 c,试求 BD杆件的角位移θ DB。

例3θ DB= ∑ R c 1 c= ( × c )

第三讲 超静定结构受力分析及特性 【内容提要】

超静定次数确定，力法、位移法基本体系，力法方程及其意义，等截面直杆刚度方程，位移法基本未知量确定，位移法基本方程及其意义，等截面直杆的转动刚度，力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，对称性利用，半结构法，超静定结构位移计算，超静定结构特性。 【重点、难点】

力法及力法方程，位移法及基本方程；力矩分配系数与传递系数，单结点的力矩分配，超静定结构位移计算。

一、超静定次数

把超静定结构变为静定结构所需要解除的约束数称为超静定次数(或多余约束数)。 1．撤去一个活动铰支座(即一根支杆)，或切断一根链杆各相当于解除一个约束。 2．撤去一个固定铰支座(即两根支杆)，或拆开一个单铰结点，各相当于解除两个约束。 3．撤去一个固定支座，或切断一根受弯杆件各相当于解除三个约束。

4．将固定支座改为固定铰支座，或将受弯杆件切断改成铰接各相当于解除一个(承受弯矩的)约束。

5．边框周边安置一个单铰则其内部减少一个弯矩约束。

6．一个外形封闭和周边无铰的闭合框或刚架其内部具有三个多余约束，是三次超静定的。k个周边无铰的闭合框的超静定次数等于3k。 二、力法 (一)基本结构

力法是解算超静定结构最古老的方法之一

结构力学自测题（第六单元）位移法解超静定结构

姓名 学号

一、是非题（将判断结果填入括弧：以O表示正确，以X表示错误）

21、图示结构，?D和?B为位移法基本未知量，有MAB?6i?B/l?ql/8。 （ ）

1、位移法中，将铰接端的角位移、滑动支承端的线位移作为基本未知量：（ ）

A. 绝对不可； B. 必须； C. 可以，但不必； D. 一定条件下可以。

2、AB杆变形如图中虚线所示，则A端的杆端弯矩为： （ ）

A.MAB?4i?A?2i?B?6i?AB/l ; B.MAB?4i?A?2i?B?6i?AB/l ; C.MAB??4i?A?2i?B?6i?AB/l ; D.MAB??4i?A?2i?B?6i?AB/l。

ABiΔBCPiD?Dl

2、图a中Z1,Z2为位移法的基本未知量，i=常数，图b是Z2?1 , Z1?0时的弯矩图，即M2图。 （ ）

Z1Z26i/hhl6i/h3i/h( )a( )b

3、图示超静定结构，?D为D点转角（顺时针为正），杆长