线性代数第三章思维导图

第三章 向量组的线性相关性和秩

一 基本要求

1．理解n维向量的概念及运算，向量的线性组合与线性表示．

2．理解向量组的线性相关与线性无关的定义及相关结论，并会判别向量组的线性相关性． 3．了解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念， 会求向量组的最大无关组和秩． 4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系．

5．了解向量空间以及相关概念，了解基变换和坐标变换公式， 会求过渡矩阵．

二 主要内容

1. 向量

(1) 定义：n个有顺序的数?1,?2,?,?n所组成的数组??(?1,?2,?,?n)叫做n维向量，数?1,?2,?,?n叫做向量?的分量(或坐标)，n称为向量?的维数． (2) 向量的运算

①加法运算：设有向量??(a1,a2,?,an)，??(b1,b2,?,bn)，则

????(a1?b1,a2?b2,?,an?bn).

加法运算满足运算规律： 交换律：???????.

结合律：??(???)?(???)??.

②数量k与向量?的乘积：k??(ka1,ka2,?,kan). 数乘运算满足运算规律： 交换律：k???k. 结合律：k(l?)?(kl)?.

分配律：k(???)?

线性代数课本第三章习题详细答案

第三章 课后习题及解答

将1，2题中的向量 表示成 1, 2, 3, 4的线性组合：

1． 1,2,1,1 , 1 1,1,1,1 , 2 1,1, 1, 1 , 3 1, 1,1, 1 , 4 1, 1, 1,1 .

T

T

T

T

T

2． 0,0,0,1 , 1 1,1,0,1 , 2 2,1,3,1 , 3 1,1,0,0 , 4 0,1, 1, 1 .

解：设存在k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 2

k1 k2 k3 k4 1

k1 k2 k3 k4 1

解得k1

5454

,k2

14

,k3

14

,k4

14

.

所以

1

14

2

14

3

14

4.

设存在 k1,k2,k3,k4使得 k1 1 k2 2 k3 3 k4 4，整理得

k1 2k2 k3 0，k1 k2 k3 k4 0，

3k2 k4 0，k1 k2 k4 1.

解得 k1 1,k2 0,k3 1,k4 0. 所以 1 3.

线性代数课本第三章习题详细答案

判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. 1 1,1,1 , 2 0,2,

第三章 向 量 空 间3.1 3.2 3.3 3.4 n维向量概念及其线性运算 线性相关与线性无关 向量组的秩 向量空间

3.1

n维向量概念及其线性运算

3.1.1 n维向量及其线性运算 3.1.2 向量的线性组合

3.1.1 n维向量及其线性运算定义3.1.1 由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组 ( a1,a2,……,an )称为一个n维向量， 数ai称为该向量的第i个分量 i=1,2,…,n

向量的维数指的是向量中分量的个数. 向量写成一行(a1,a2,……,an) 列向量写成一行 (a1,a2,……,an)T列向量写成一列 a1 a2 . an

行向量

用小写的黑体字母:α,β, x, y , …表示向量用带下标的白体字母:ai,bi, xi, yi, …表示向量 1 行 、 列 不 同 不 等 ： 1, 2 2

次序不同不等：

1, 2 2, 1

n维向量——矩阵定义一 个 n 维 行 向 量 a 1 , a 2 , , a n .可 以 定 义 为 一 个 1 n的 矩 阵

b1

线性代数第三章综合自测题

一、 单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面

横线上。本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组α1,α2,?,αm线性表示，则（ D ）。

（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm （B）对β的线性表示惟一

（C）向量组β,α1,α2,?,αm线性无关

（D）存在一组数k1,k2,?,km，使得β?k1α1?k2α2???kmαm 2. 向量组?1,?2,?,?t线性无关的充分条件是（ C ） （A）?1,?2,?,?t均为非零向量；

（B）?1,?2,?,?t的任意两个向量的分量不成比例； （C）?1,?2,?,?t中任意部分向量组线性无关； （D）?1,?2,?,?t中有一个部分向量组线性无关。

3. 若α1,α2,?,αm线性相关，且k1α1?k2α2???kmαm?0，则（ D ）。 （A）k1?k2???km?0 （B）k1,k2,?,km全不为零 （C）k1,k2,?,km不全为零 （D）上述情况都有可能 4. 一个m?n阶矩阵

第三章 习题与答案 习题 A

TT1.求向量α1?(4,1,?3,?2),αT?(1,2,?3,2),α,?3)的线性组合3α1?5α2?α3. 23?(16,9,1?4??1??16??12??5??16??1???????????????12931094???????. 解 3α1?5α2?α3?3???5????????????3???3??1???9???15??1???25???????????????22?3?610?37??????????????2.从以下方程中求向量?

3(α1?α)?2(α2?α)?5(α3?α)，

T其中α1?(2,5,1,3),αT,5,10),αT,?1,1). 2?(10,13?(4,1解 由方程得3α1?3α?2α2?2α?5α3?5α?0，

?2??10??4??6?????????51112 6α?3α1?2α2?5α3?3???2???5?????

?1??5???1??18??????????3??10??1??24??1???2故α???,即αT?(1,2,3,4).

?3????4?3.求证:向量组α1,α2,?,αi,?αs中

第三章 线性空间

习题精解

1. 把向量?表成?1,?2,?3,?4的线性组合.

1)??(1,2,1,1)?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1)

?3?(1,?1,1,?1),?4?(1,?1,?1,1)2)??(0,0,0,1)?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1)

?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1)解 1）设有线性关系

??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4

代入所给向量，可得线性方程组

?k1?k2?k3?k4?1?k?k?k?k?2?1234 ??k1?k2?k3?k4?1??k1?k2?k3?k4?1解之，得

k1?因此

5111, k2?, k3??, k4?? 4444???1??2??3??4

2）同理可得

54141414???1??3

2.证明：如果向量组?1,?2,?,?r线性无关，而?1,?2,?,?r,?线性相关，则向量可由?1,?2,?,?r线性表出.

证 由题设，可以找到不全为零的数k1,k2,?,kr?1使

k1?1?k2?2???kr?r?kr?1??0

显然kr?1?0.事实上，若kr?1?0，而k1,k2,?,kr不全为零，使

第三章 教育目的

教育目的概念：

广义：人们对受教育者的期望。

狭义：国家对受教育者培养成什么样的人才的总的要求。

教育方针：反映了一个国家教育的根本性质、总的指导四思想和教育工作的总方向等。 教育目的的意义：

是整个教育工作的核心；是教育活动的依据和评判标准、出发点和归宿；是全部教育活动的主题和灵魂，是教育的最高理想；贯穿教育的全过程，对一切教育活动都有指导意义；是确定教育内容、选择教育方法和评价教育效果的根本依据。 教育目的的作用（功能）：

导向功能、激励功能、评价功能、选择功能、调控功能 教育目的的层次结构：

教育目的——国家：总体性的、高度概括的 培养目标——学校

教学目标——教师（课堂）：课程目标的进一步具体化

确定教育目的的依据：特定的社会政治、经济、文化背景；人的身心发展特点和需要；人的教育理想；

理论依据：马克思关于人的全面发展学说。 教育目的的价值取向：

个人本位论：代表：卢梭、洛克、夸美纽斯、福禄贝尔、裴斯泰洛齐、

马斯洛、赫钦斯；

观点：确立教育目的应从人的本性、本能出发，使人的本性得到高度发展。

社会本位论：代表：孔子、荀子、柏拉图、赫尔巴特、涂尔干、孔德、凯兴斯泰纳等；

第三章 多元线性回归模型

一、名词解释

1、多元线性回归模型

2、调整的决定系数R2

3、偏回归系数

4、正规方程组

5、方程显著性检验

二、单项选择题

1、在模型Yt 0 1X1t 2X2t 3X3t t的回归分析结果中，有F 462.58，

则表明 （ ） F的p值 0.000000，

A、解释变量X2t对Yt的影响不显著 B、解释变量X1t对Yt的影响显著

C、模型所描述的变量之间的线性关系总体上显著 D、解释变量X2t和X1t对Yt的影响显著

2、设k为回归模型中的实解释变量的个数，n为样本容量。则对回归模型进行总体显著性 检验(F检验)时构造的F统计量为 （ ） A、F

ESSkRSS(n k 1)ESSRSS

B、F

ESS(k 1)RSS(n k)RSSTSS

C、F D、F 1

2

3、已知二元线性回归模型估计的残差平方和为 ei 800，估计用样本容量为n 23， 则随机误差项 t的方差的OLS估计值为

方向图测量

第三章 方向图测量

第一节 引言

天线的方向图是表征天线辐射特性(场强振幅、相位、极化)与空间角度关系的图形。完整的方向图是一个三维的空间图形，如图3.1所示。它是以天线相位中心为球心（坐标原点），在半径r足够大的球面上，逐点测定其辐射特性绘制而成。测量场强振幅，就得到场强方向图；测量功率，就得到功率方向图；测量极化，就得到极化方向图；测量相位，就得到相位方向图。若不另加说明，本书说述方向图均指场强振幅方向图。三维空间方向图的测绘十分麻烦，实际工作中，一般只需测得水平面和垂直面（即XY平面和XZ平面）的方向图就行了。

图3.1 测量方向图的坐标

天线方向图可以用极坐标绘制，也可以用直角坐标绘制。极坐标方向图的特点是直观、简单，从方向图可以直接看出天线辐射场强的空间分布特性。但当天线方向图的主瓣窄而副瓣电平低时，直角坐标绘制法显示出更大的优点。因为表示角度的横坐标和表示辐射强度的纵坐标均可任意选取，例如即使不到1的主瓣宽度也能清晰地表示出来，而极坐标却无法绘制。图3.2所示为同一天线方向图的两种坐标表示法。 o

图3.2 方向图的表示法 (a)极坐标 (b)直角坐标

方向图测量

一般绘制方向图时都是经过归一化的，即径向长度(极坐标)或纵坐标值(

线性代数B第三套练习题及答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．排列53142的逆序数τ（53142）=（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．下列等式中正确的是（ ） A．?A?B?2?A2?AB?BA?B2

B．?AB?T?ATBT

C．?A?B??　A?B??A2?B2

D．A2?3A??A?3?A 3．设k为常数，A为n阶矩阵，则|kA|=（ ） A．k|A| B．|k||A| C．kn|A|

D．|k|n|A|

4．设n阶方阵A满足A2?0，则必有（ ） A．A?E不可逆 B．A?E可逆 C．A可逆 D．A?0

?a11a12a13?x1??y1?5．设A????a??????21a22a23?，X??x2?，Y??y2?，则关系式（ ）?a31a32a33????3????3?

xy??x1?a11y1?a21y2＋a31y3 ??x2?a12y1?a22y2＋a32y3