椭圆性质总结92条

椭圆

1.

2.标准方程

3.

4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.

9．椭圆（a＞b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

10．若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

11．若在椭圆外

，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

12．AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.

13．若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.

14．若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.

15．若PQ是椭圆（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则.

16．若椭圆（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为,则(1)

;(2)

.

17．给定椭圆：（a＞b＞0）,

：,则(i)对上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过上一定点M.

(ii)对上任

椭 圆

重点：椭圆的定义、椭圆的标准方程及椭圆的参数方程； 难点：用椭圆的定义及基本性质求椭圆的方程。 1 椭圆的两种定义：

①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2a?F1F2的点的轨迹，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（2a?F1F2时为线段F1F2，2a?F1F2无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集

??d2 标准方程：

M={P|

PF?e，0＜e＜1的常数

（e?1为抛物线；e?1为双曲线） ?。

x2y2（1）焦点在x轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（－c，0）， F2（c，0）。其中c?a2?b2（一个Rt?）

y2x2（2）焦点在y轴上，中心在原点：2?2?1（a＞b＞0）；

ab焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中c?a2?b2 注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，c? a2?b2并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A＞0，B＞0，A≠B），当A＜

B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。

高二数学选修1-1导学案 编号： 班级： 姓名： 学习小组： 层级编码： 组内评价： 教师评价：

主备人：杨淑宁 审核：王君茹 包科领导： 年级组长： 使用时间：

椭圆的简单性质2

[教学目标]

1.使学生掌握椭圆的简单几何性质。

2.会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形、能根据几何性质解决一些简单问题。 3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。 【重点、难点】

重点：椭圆的简单几何性质。

难点：椭圆性质在实际问题中的应用，数形结合的思想、方程的思想及转化的思想在研究难题和解决问题中的运用。 【学法指导】

1、 根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2、 用红笔勾出疑难点，提交小组讨论； 3、 预习p28-p31 【自主探究】 1、 完成下表 椭圆 椭圆的定义 对称性 椭圆的标准方 范围 程 a,b,c的关系 顶点坐标 简单性质 焦点坐标 离心率及范围

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去

长轴的两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.(抛物线相切，双曲线相交) 4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

2xxyyy2x5. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.

abab2y2x6. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外 ，则过P0作椭圆的两条切线切点为A,B，则切点弦AB的直线方程ab是

x0xy0y?2?1. a2b2y2x7. 椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则 ab?2b2(1)|PF1||PF2|?.(2) S?F1PF2?b2tan.

21?cos?2y2x8. 椭圆2?2?1(a?b?0)的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)，?MF1F2=?).

ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0 |MF1|=ep2ep， MN?

1?e2cos2?1?ecos?9. 设过椭圆

Cweecj高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

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||生活|

一个人总要走陌生的路，看陌生的风景，听陌生的歌，然后在某个不经意的瞬间，你会发现，原本费尽心机想要忘记的事情真的就这么忘记了..

|-----郭敬明

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若Px2x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2 y2

b2

1上，则过P0

的椭圆的切线方程是a2 b2 1. 6.

Px2y2

若0(x0,y0)在椭圆a2 b

2 1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

是x0xyy

a2 0b2 1. 7.

x2y2

椭圆a2 b

2 1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 F1PF2 ，则椭圆的焦点

角形的面积为S2

F1PF2 btan2

.

8.

x2y2

椭圆a2 b

2 1（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1

祝各位莘莘学子高考成功！高考数学考出好成绩！

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）

高三数学备课组

双曲线

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长

轴的两个端点.

椭 圆

1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若P0(x0,y0)在椭圆6. 若P0(x0,y0)在椭圆

是

x0xa23. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5. 若P0(x0,y0)在双曲线6. 若P0(x0,y0)在双曲线

x0xa2xaxa2222??yby2222?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是

x0xa2?y0yb2?1.

xaxa2222??ybyb2222?1上，则过P0的椭圆的

椭圆与双曲线的对偶性质

椭 圆

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

若Px2y2x0xy0y0(x0,y0)在椭圆a2?b2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是a2?b2?1. 若Px2y20(x0,y0)在椭圆a2?b2?1外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的

直线方程是

x0xa2?y0yb2?1. x2y2椭圆a2?b2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭

圆的焦点角形的面积为S2?F1PF2?btan?2.

椭圆x2y2a2?b2?1（a＞b＞0）的焦半径公式：

|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交

《椭圆标准方程及其几何性质》

一：椭圆的简单几何性质

1、焦点F1(0,?4)，F2(0,4)，2a?10； 则椭圆的标准方程： 2、焦点在x轴上，a:b?2:1，c?6；则椭圆的标准方程：

3、a?c?1，b?5；则椭圆的标准方程： 4、焦距为6，a?b?1；则椭圆的标准方程：

225、焦点在y轴上，a?b?5，且过点(?2,0)；则椭圆的标准方程：

6、椭圆经过两点(?35,)，(223,5)．则椭圆的标准方程：

7、求过点P(6,1)，Q(?3,?2)两点的椭圆的标准方程；

8、求和椭圆9x?4y?36有共同的焦点，且经过点(2,?3)的椭圆方程.

9、两个焦点的坐标分别是(0,?2)、(0,2)，并且椭圆经过点(? 10、椭圆

x22235 ,)．则椭圆的标准方程：

22162?y29?1的焦距是 ，焦点坐标为 ，若CD为过左焦点F1的弦，则

?F2CD的周长为 ．

11、方程4x?ky?

2.1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时 椭圆的简单几何性质

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能

掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系． 2．过程与方法

能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题． 3．情感、态度与价值观

从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美． ●重点、难点

重点：由标准方程分析出椭圆几何性质． 难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解．

对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固

(教师用书独具)

●教学建议

根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价．

●教学流程

创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？

?

引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.?

引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.

???

通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的

椭圆（1）

1 椭圆的一个顶点为A?2，0?，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．

2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．

3 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x?y?1?0交于A、B两点，M为

AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．

x2y?9???1上不同三点A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?与焦点F?4，0?的距离4椭圆

259?5?成等差数列．

（1）求证x1?x2?8；

（2）若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k．

2x2y??1，F1、F2为两焦点，问能否在椭5 已知椭圆

43圆上找一点M，使M到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

1 / 5

2

6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．

7 求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；

（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．

8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．

9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．