2020高中数学竞赛海南赛区

二〇〇九年河南省高中数学竞赛（平顶山赛区）

获 奖 通 报

各高中：

二〇〇九年河南省高中数学竞赛（即二〇〇九年全国高中数学联赛河南省预赛）（平顶山赛区）的考试、评卷、复评工作已经结束。现将我市获得一等奖的学生及优秀辅导员名单发给你们（见附件）。望各校积极做好获奖学生的竞赛辅导工作，以期在参加今年十月举行的全国高中数学联赛中取得优异成绩。

请各校到市教育局南楼103室领取获奖学生证书和优秀辅导员证书。

平顶山市数学会

二○○九年七月五日

附件:平顶山市获一等奖学生及优秀辅导员名单 （获二等奖、三等奖学生名单略）

获奖名单

高中一年级

高中二年级

市经管学校 杜校永 郜东阳 市二高 舞钢市实验 王卫东 柏松 高中 叶县二高 田松衡 杨俊梅 张晓亮 左克强 罗阳阳 侯建华 姚聪聪 王文龙 赵志端 许田福 郭鹏辉 李明果 马小芳 张二伟 梁梦可 王延峰 郭晓芳 杜帅龙 张云超 闫自辉 孙乃葳 孙春晓 魏海辉 赵瑞营 张明超 张 瑜 张梦梦

刘金民 史怀俭 孙丹华 焦旭 庄正喜 张超华 刘亚飞 柴玉良

魏社朝 李晓桂 苗沛

段长顺 吴拥军 程可征 王领军 张广亚 宋变红 樊克彬 周亚贞 王青芝 崔洪澎 马菲菲 范易佳 刘真真 李运发 陈鹏辉 王建国 王文豪 赵转灵 张骁伟 刘慧

2020年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题答案

一、填空题（每题8分，共80分）

1. 32

290x x x -+-=

2. 1-

3.

16±4分，满分8分） 4.

5. 13

6.

5

[2

7. z =?14±

√154i （每个答案给4分，满分8分）

8. 126

9. 153

10. 912 二、解答题（共五题，11-13各20分，14、15各30分，合计120分） （解答题严格按照上述标准给分，分数整5整10，不给其他过度分数。）

11. 已知数列{}n a

，且11a =

2,3,)n ==L ，令1n n b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若对任意的*

n N ∈

(1)101n S n λ≤+≤+恒成立，求实数λ的取值范围。 解答 （1

）由数学归纳法证明得n

a = （5分） （2

）由于n b =

1n S =, （10分）

(1)101n S n λ≤+≤+得到

λ≤≤

上式对任意的正整数成立，则

min 202λ=≤≤=，（15分）

即202

λ≤≤。

竞赛讲座01－奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□， □-□=□，

□3□＝□ □÷□＝□.

解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么

（A）p、q都是偶数. （B）p、q

兰州老师讲的组合数学，看晚会有一定帮助

高中数学竞赛中组合方法应用

组合计数主讲人：刘海宁

兰州老师讲的组合数学，看晚会有一定帮助

组合方法

组合计数

兰州交通大学数理与软件工程学院

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应用组合方法解决计数问题(组合计数问题)

1 分类计数 2 几个计数原理(加法原理与乘法原理、极值 原理、抽屉原理、容斥原理、最小数原理、从 反面考虑问题等) 3 排列组合计数公式：Cn m

n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!

Pn

m

n ( n 1)( n 2 ) ( n

2012年全国高中数学联赛福建赛区

获奖学生及指导教师名单

奖次 姓 名 李君诚 陈景林 苏肇祺 一 等 奖 （41名） 陈洁锋 吴秉杰 陈景发 黄熹之 赖泽华 林永锋 高登峰 郑予凡 林 楠 蔡宇涵 涂霁原 张 毅 龙岩一中 福州一中 厦门双十中学 南安一中 福建师大附中 泉州七中 福州一中 泉州五中 泉州七中 长乐一中 福州三中 莆田一中 福州一中 福建师大附中 厦门外国语学校 所在学校 指导教师 方秦金 王 欣 赵祥枝 林建源 连信榕 杜成北 王 欣 陈 显 曹东方 刘宇璋 林 风 吴天然 陈德燕 黄振胜 周志伟 奖次 姓 名 郑婉怡 林 坚 吴艺杰 郑延敏 刘淇禄 付祖悦 林梓楠 长乐一中 所在学校 指导教师 刘宇璋 连信榕 徐小平 周 翔 许 波 李 迅 徐小平 刘金星 林 玲 林保平 李 辉 吴铭辉 陈荣海 夏彦婴 宋梅玉 连信榕 叶良清 苏文新 郭艺斌 福建师大附中 厦门一中 厦门一中 厦门双十中学 福州一中 厦门一中 仙游一中 福州一中 三明二中 永定一中 厦门外国语学校 安溪一中 福州一中 福州一中 福建师大附中 安溪一中 安溪一中 福州一中 一 一 等 奖 （4

竞赛讲座01－奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□， □-□=□，

□3□＝□ □÷□＝□.

解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么

（A）p、q都是偶数. （B）p、q

智浪教育—普惠英才文库

2014年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．已知集合P={1,|a|}，Q={2,b2}为全集U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集，且CU{P∪Q}={6}，则下面结论正确的是（ D ）

A．a=3,b=1

B．a=3,b=-1

C．a=-3,b=1 D．a=-3,b=-1

2．已知复数z1, z2，且|z1|=2,|z2|=2，|z1+z2|=7，则|z1-z2|的值为（ D ）

A．5

B．7 C．3

D．3 3．已知∠A, ∠B, ∠C为△ABC的三个内角，命题P：∠A =∠B；命题Q：sin∠A =sin∠B，则﹁P是﹁Q 的（ C ）

A．充分非必要条件 C．充分必要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

20144．已知等比数列{an}：a1=5,a4=625，则

1=（ A ） ?k?1log5aklog5ak?1

C．

A．

2014 2015 B．

2013 2014

竞赛讲座01－奇数和偶数

整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：

（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；

（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数； （3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数； （4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；

（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题

例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？

□+□=□， □-□=□，

□3□＝□ □÷□＝□.

解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组

是整数，那么

（A）p、q都是偶数. （B）p、q

高中数学竞赛专题讲座之 数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列 an 的通项公式an

A a1

B a2

2

，则 an 的最大项是（ B ） 2

n 4n 5

C a3 D a4

23

2．（2006安徽初赛）正数列满足a1 1,a2 10,anan 2 10an t n 3 ，则lg(a100) （ ）

A、98 B、99 C、100 D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2， ，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、 sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+ pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1

数学训练题（二）

一、选择题 2、满足y

（ ） x 3 x 2007的正整数数对（x，y）

（A）只有一对 （B）恰有有两对 （C）至少有三对 （D）不存在

3、设集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f：M N使对任意的x∈M，都有3是奇数，则这样的映射f的个数是（ ）

（A）45 （B）27 （C）15 （D）11 4、设方程

x2y2

1所表示的曲线是（ ） 2007 2007

sin(19)cos(19)

（A）双曲线 （B）焦点在x轴上的椭圆

（C）焦点在y轴上的椭圆 （D）以上答案都不正确

5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有（ ）个。 （A）100 （B）120 （C）160 （D）200

6、函数y f(x)与y g(x)有相同的定义域，且对定义域中的任何x，有。若g(x) 1

的解集是{x|x 0}，则