高中立体几何三视图

空间几何体的三视图

1．多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱 锥 棱 台 名称 棱柱 棱锥 棱台 侧面积(S侧) 各侧面积之和 各侧面积之和 各侧面面积之和 全面积(S全) 体 积(V) S侧+2S底 S侧+S底 S侧+S上底+S下底 球 22．旋转体的面积和体积公式 圆柱 2πrl 2πr(l+r) 圆锥 πrl Πr(l+r) 圆台 π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r1+r2) 2S侧 S全 V 4πR 2表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底面半径，r1、r2分别表示圆台 上、下底面半径，R表示球的半径。

3．.三视图画法规则

高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正

宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等

基础训练

1 有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )

A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 都不对

主视图 左视图 俯视图

2 棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）

A 3

立体几何三视图

1、 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的表面积为( )

A．21＋3 B．8＋2C．21 D．18

2、某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的表面积为( )

图1-2

A．54 B．60 C．66 D．72

3、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )

4、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该

四棱锥侧面积和体积分别是（ ）

1

88A.45,8 B.45, C.4(5?1), D. 8,8

335、.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A．16 B．13

C．23 D．1

6、某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ A．4 B．

143

C．163D．6 2

）

立体几何三视图

1、 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的表面积为( )

A．21＋3 B．8＋2C．21 D．18

2、某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的表面积为( )

图1-2

A．54 B．60 C．66 D．72

3、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是

(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )

4、一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该

四棱锥侧面积和体积分别是（ ）

1

88A.45,8 B.45, C.4(5?1), D. 8,8

335、.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A．16 B．13

C．23 D．1

6、某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ A．4 B．

143

C．163D．6 2

）

.

三视图

一、体积公式

1、柱体（棱柱、圆柱）：V=__________

2、椎体（棱锥、圆锥）：V=__________

3、台体（棱台、圆台）：V=__________

4、球：V=__________

二、面积公式

1、柱体侧面积：S?________

2、棱锥侧面积：S?________

3、圆锥侧面积：S?________

4、球的表面积：S?________

5、梯形面积：S?________

6、对角线垂直的四边形面积：S?________

一、简单几何体

.

.

1．（2012全国）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) A．6 B．9 C．?? D．??

2．（2013陕西）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为________，表面积是____________

2111

3.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）

A. B. C.

三视图强化练习

(13

) 10

.

某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为

(12) 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是(

A. 28+6 ..5

B. 30+6 5

C. 56+ 12

(11理)7?某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

A . 8 B. 6 ■ 2 C. 10 D. 8.2 (11文)5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是

5 D.60+12 , 5

A. 32 B . 16+16 - 2 C . 48D. 16+32 - 2

)

(13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

&

一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积 分别记为 V ，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面 (13) (13) 5、某几何体的三视图如题 560 580

240

5图所示，则该几何体的体积为(

C 、200 ——

I

(13) 体，则有(

A. V V 2 V 4 V 3

B. V 1 V 3 V 2 V 4

C. V 2 V 1 V 3 V 4

D. V 2 V 3 V 1 V 4

(11东城二模)(4)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图

典型立体几何题

典型例题一

例1 设有四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩

形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；

命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体； 命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直． 命题④是真命题，如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中所有对角线相等，对角面B1BDD1是平行四边形，对角线

BD1?B1D，所以四边形B1BDD1是矩形，即BB1?BD，同理四边形A1ACC1是矩形，所以AA1?AC，由AA1//BB1知BB1?底面ABCD，即该平行六面体是直平行六面体．

故选A．

说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．

下面我们列表来说明平行四边

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点

立体几何(理科

1.（2009北京卷理）（本小题共14分）

如图，在三棱锥P ABC中，PA 底面ABC,PA AB, ABC 60, BCA 90， 点D，E分别在棱PB,PC上，且DE//BC

（Ⅰ）求证：BC 平面PAC；

（Ⅱ）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大

小；

（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A DE P为直二面角？并说

明理由.

2.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ABC=90°，BA BC, 球心O到平面ABC的距离是

A.

C. 32，则B、C两点的球面距离是 2 B. 34 D.2 3

3.（2009江西卷理）正三棱柱ABC A1B1C1内接于半径为2的球，若A,B

两点的球面距离为 ，则正三棱柱的体积为 ．

4.（2009四川卷文）如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相

等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小

是 。

5.（2009全国卷Ⅰ文）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M，

高中立体几何学习方法

根据我多年的高中数学教学经验，以及学生在学习过程中表现出的对立体几何的盲目性，我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给同学们带来帮助。

方法一：立体几何学习中的图形观

立体几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受空间线面的位置关系，培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中，我们要树立图形观，通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功，对培养空间概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多空间线面的关系．所以作图是解决立体几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中，点P、E、F分别是棱AB、BC、

的

中点（如图1)．作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析：作图是学生学习中的一个弱点，作多面体的截面又是作图中的难点，学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面．其实，作截面就是找两个平面的交线，找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件（如图2)，发现PE就是一条交线．又因为平面ABCD／／平面

，由面面平行的性质可得，截面和面

F是

的中点，故取

的交线一定和PE平行。而

的

的中点